Теоретические сведения. Пусть дано уравнение f(x)=0, функция f(x) непрерывна на интервале [a,b]

Пусть дано уравнение f(x)=0, функция f(x) непрерывна на интервале [ a, b ]. Условие f(a)× f(b)< 0 указывает тогда на наличие хотя бы одного корня на этом отрезке. Наглядное отделение корней возможно при построении графика f(x) (рис.8).

Рис.7. Иллюстрация численного метода

 

Метод деления отрезка пополам (дихотомия)

Поделим отрезок [ a, b ] пополам точкой c, координата которой c=(a+b)/2 и вычислим значение функции f(c).

Возможны два случая:

а) f(a)× f(c)> 0, т.е. значения функции на концах отрезка [ a, c ] одинаковы по знаку; тогда корень уравнения находится на отрезке [ c, b ] и отрезок [ a, c ] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку a в точку c: a=c; f(a)=f(c) (рис. 7 а);

б) f(a)× f(c)< 0, т.е. значение функции на концах отрезка [ a, c ] противоположны по знаку; тогда корень находится на отрезке [ a, c ] и отрезок [ c, b ] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку b в точку c: b=c (рис. 7 б).

После исключения правой или левой половины отрезка продолжают деление пополам до тех пор, пока длина оставшегося интервала [ a, b ] не станет меньше некоторой заданной малой величины e, т.е.
½ b-a ½ < e, и тогда любое значение аргумента из отрезка [ a, b ] можно считать корнем с погрешностью e. Обычно принимают в качестве корня середину отрезка. Отметим, что e здесь имеет смысл допустимой абсолютной погрешности вычисления корня.

Достоинством метода является его безусловная сходимость, если на интервале [ a, b ] имеется хотя бы один корень. Кроме того, метод не использует производных. К недостаткам относят медленную сходимость, т.е. достаточно большое число вычислений функции f(x) по сравнению с другими методами. Рекомендуется к использованию в тех случаях, если нет жестких требований ко времени счета.

 

Рис.8 Представление корня уравнения

а- математическое; б- машинное

 

При реализации алгоритма вычисления корня алгебраического или трансцендентного уравнения методом деления отрезка пополам предположим, что вычисление значения функции f(x) (левой части решаемого уравнения) при произвольном значении аргумента оформлено в виде функции. Удобно оформить алгоритм метода в форме процедуры, тогда имя функции, вычисляющей f(x), можно передать в эту процедуру через список параметров.

 

Рис. 9 Графический метод решения алгебраического уравнения в Excel

 

Замечание. Если отрезок [ a, b ] делить в пропорции «золотого сечения» , то численный метод решения уравнения называется методом золотого сечения.

Метод простой итерации (м етод последовательных приближений)

 

а б

Рис.10 Геометрическая иллюстрация

метода последовательных приближений при

а- ; б-

Задаем начальное значение аргумента . Циклически пересчитываем аргумент по формуле пока не достигнем заданной точности, т.е.

Рис.11 Расходимость метода итераций при

Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных является разновидностью итерационных методов при . Метод Ньютона чувствителен к выбору начального приближения, которое должно находиться вблизи корня. Поэтому в ряде случаев целесообразно использовать комбинированный метод, например, сначала всегда сходящийся метод дихотомии, а после некоторого числа итераций быстросходящийся метод касательных.

 

Рис.12 Геометрическая иллюстрация метода касательных