Повторный отбор Бесповторный отбор
при определении среднего размера ; (5) (6) ошибки признака
при определении ошибки доли признака ; (7) (8)
1) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 997; t = 3. Найдем объем выборки для расчета ошибки средней: при повторном отборе (по формуле 5) – заводов; при бесповторном отборе (по формуле 6) – завода; 2) Известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 954; t = 2. Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6): заводов.
3) известно, что N = 500; млн. руб.; ; Р = 0, 954; t = 2.
Объем выборки для расчета ошибки доли будет: при повторном отборе (по формуле 7) –
заводов;
при бесповторном отборе (по формуле 8) -
заводов;
В ы в о д ы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.
№ 3. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выработка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).
На основе обследования получены следующие данные:
Определим: 1) с вероятностью 0, 954 предельную ошибку выборки и границы в которых будут находиться среднедневная выработка всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью пределы удельного веса квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.
Решение. 1) Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле: ; (9)
где - средняя из внутригрупповых дисперсий.
Она исчисляется по формуле: ; Тогда = .
Определим среднюю ошибку выборки при бесповторном отборе (по формуле 9): шт.
Технику расчета предельной ошибки при типической выборке аналогична вышеизложенному расчету предельной ошибки при случайном отборе:
или ;
Подставив данные, получим: шт. Для определения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности по средней арифметической взвешенной:
шт.
пределы среднедневной выработки всех рабочих завода: шт. С вероятностью 0, 954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода находится в пределах 26, 4 шт. шт. 2) Средняя ошибка репрезентативности для доли исчисляется по формуле:
(10)
где - дисперсия доли является средней из внутригрупповых дисперсий. Эта величина исчисляется по формуле:
=
Технику расчета покажем в таблице:
Тогда = .
Определим среднюю ошибку репрезентативности для доли (по формуле 10):
или .
Исчислим предельную ошибку выборочной доли с вероятностью 0, 954: или 6, 4%.
Расчет предела при установлении доли в общем виде представляется следующим образом: .
Определим среднюю долю для выборочной совокупности:
, или 86%.
Отсюда: .
Вывод: с вероятностью 0б954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих на заводе будет находиться в пределах 79, 6% .
№ 4. С целью определения среднего эксплуатационного пробега 10000 шин легковых автомобилей, распределенных на партии по 100 шт., проводится серийная 4%-ная бесповторная выборка. Результаты испытания отобранных шин характеризуются следующими данными:
О п р е д е л и т е: 1) средние ошибки репрезентативности: а) эксплуатационного пробега шин; б) удельного веса шин с пробегом не менее 42 тыс. км; 2) с вероятностью 0, 954 пределы, в которых будет находиться: а) средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин; б) доля шин, пробег которых не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности. Решение. 1) При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам:
для средней – ; (11)
для доли – , (12)
где R - число серий в генеральной совокупности; r - число отобранных серий; - межсерийная дисперсия средних; - межсерийная дисперсия доли.
Сначала исчислим обобщающие показатели. Средний эксплуатационный пробег шин:
тыс. км.
Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс.км равен:
(или 87, 5%)
для средней – ;
для доли –
Для ее расчета построим вспомогательную расчетную таблицу:
Тогда
; .
Определим средние ошибки репрезентативности: для средней (по формуле 11) –
тыс. км;
для доли (по формуле 12) –
, или .
2) определим с вероятностью 0, 954 предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли:
тыс. км; %
Отсюда средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин будет находиться в пределах: , или 40, 75 тыс. км 46, 75 тыс. км. Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности будет находиться в пределах:
, или 82, 0% 93, 0 %.
№ 5. Используя условие и решение предыдущей задачи, определите вероятность того, что: а) предельная ошибка выборки при установлении среднего эксплуатационного пробега шин не превышает 4, 0 тыс. км; б) доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%. Решение. При определении вероятности используется формула предельной ошибки: . В нашем примере следует использовать формулу предельной ошибки серийного отбора. а) Дано: ; ; тыс. км; =9, 185; тыс. км. Требуется определить вероятность того, что разница средних величин эксплуатационного пробега шин в выборочной генеральной совокупности не превысит тыс. км, т.е.
тыс.км.
Подставляем данные в формулу:
;
По таблице значений вероятностей находим, что при t = 2, 67 вероятность будет 0, 992. Следовательно, с вероятностью 0, 992 можно гарантировать, что средний эксплуатационный пробег шин легковых автомобилей в генеральной совокупности будет находиться в пределах 39, 75 тыс. км тыс. км; б) Дано: ; ; ; = 0, 003125; %.
Требуется определить: , т.е. вероятность того, что доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км в выборочной совокупности не будет отклоняться от доли генеральной совокупности более чем на 4, 5%.
Подставив данные в формулу
(см. решение на с.54), получим 4, 5% = ;
тогда Р = 0, 899.
Следовательно, вероятность того, что удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%, равна 0, 899.
|