Математическое описание модели

Настоящий раздел ─ это краткое, переработанное описание модели Дж. Форрестера «Мировая динамика» (МД) [1]. В МД пять уровней:

· численность людей на Земле,

· количество природных ресурсов,

· количество производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве,

· доля производственных фондов в сельском хозяйстве,

· уровень загрязнения окружающей среды.

Прежде чем описывать модель, необходимо заметить следующее. В книге Дж. Форрестера расчёты ведутся начиная от 1900 до 2100 г. Однако значения всех внутренних характеристик (кроме доли фондов в сельском хозяйстве) заданы на 1970 г. Если расчёты вести с 1900 г., то необходим подбор таких начальных значений внутренних характеристик в 1900 г., чтобы они в 1970 г. приняли заданные значения. Другими словами, необходимо решать краевую задачу для системы дискретных уравнений, представляющих модель МД. Поскольку никаких следов этой достаточно трудной в вычислительном отношении операции в книге Дж. Форрестера не обнаружено, возникают подозрения, что Дж. Форрестер вел вычисления от 1970 г. как «вперед» по времени, так и «назад». Соответственно внешние функции, о которых говорилось во введении, подбирались из условия интерпретируемости результатов как при счёте «вперед», так и при счёте «назад».

Переходя к изложению модели МД, перечислим ещё раз уровни МД:

─ численность людей на Земле в году ;

─ количество природных ресурсов в году ;

─ количество производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве в году ;

─ доля фондов в сельском хозяйстве;

─ уровень загрязнения окружающей среды в году .

Следующие соотношения определяют значения перечисленных характеристик в году по их значениям в предыдущем году :

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

CIAF_t+1 = CIAF_t + DT × × (CFIFR_t × CIQR _t - CIAF_t), (5)

где ─ временной шаг, равный одному году;

─ количество людей, родившихся в единицу времени момента (т.е. в году );

─ количество людей, умерших в единицу времени момента (т.е. в году );

─ уменьшение количества природных ресурсов в единицу времени около момента (т.е. в году ) вследствие их изъятия для нужд производства;

─ количество новых производственных фондов, созданных в единицу времени около момента (т.е. в году ) вследствие инвестиций;

─ уменьшение количества фондов в единицу времени около момента (т.е. в году ) вследствие их амортизации;

─ количество антропогенных выбросов загрязнителей в окружающую среду в единицу времени около момента (т.е. в году );

─ уменьшение количества загрязнителей в единицу времени около момента (т.е. в году ) вследствие свойства самоочищения окружающей среды;

CIAF_t = 15 лет ─ характерное время изменения структуры фондов в сельском хозяйстве по сравнению с характерным временем их изменения в промышленности (вследствие инвестиций и амортизации): считается, что характерная скорость изменения доли фондов в сельском хозяйстве в 15 раз меньше характерной скорости изменения фондов в промышленном производстве.

Содержательный смысл характеристик , CIQR_t, фигурирующих в правой части соотношения (5), будет разъяснён позднее.

Все перечисленные характеристики, фигурирующие в правой части соотношений (1) ─ (5), являются функциями пяти уровней модели МД, а также большого числа внешних характеристик. Дальнейшее изложение модели МД имеет целью конкретизировать эти функции. Для этого необходимо ввести ряд промежуточных характеристик, также являющихся функциями уровней и внешних характеристик составляемой модели.

─ относительная численность людей на Земле, т.е. численность людей на Земле в долях той численности, которая имела место в 1970 г. Дж. Форрестер трактует эту характеристику как относительную плотность населения на Земле, т.е. плотность населения на Земле в долях плотности, имевшей место в 1970 г.: население Земли в 1970 г. он считает равным 3.6 млрд человек, площадь Земли полагает равной 135 млн кв. км. Таким образом, плотность населения на Земле в 1970 г. равна 26.5 человек на кв. км. Тогда относительная численность людей на Земле равна:

,

─ относительное количество природных ресурсов в году , т.е. количество природных ресурсов в долях того их количества, которое имелось в 1970 г. Начальное значение количества природных ресурсов на Земле принято равным 9·10¹¹ единиц. Опишем, как получено это значение. Количество природных ресурсов на душу населения в 1970 г. принято равным единице. Считается, что природных ресурсов на Земле хватит на 250 лет. Таким образом, 9·10¹¹ получено умножением численности населения Земли в 1970 г. на 250.

─ относительное загрязнение. Значение принимается равным ; считается, что в 1970 г. загрязнение в расчете на душу населения равно единице.

Введение относительных характеристик , , является «стандартной» операцией «обезразмеривания» соответствующих внутренних характеристик: вместо их значений вводятся их доли по отношению к этим значениям в 1970 г. Операция «обезразмеривания», однако, не доводится до конца: вместо характеристики вводится характеристика .

─ количество производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве на душу населения. Именно эта характеристика, а не , называется в [1] «относительной величиной фондов». Значение в 1970 г. принимается равным единице. Таким образом, значение принимается равным . Аналогично вместо характеристики вводится характеристика .

─ относительная величина фондов в сельском хозяйстве на душу населения, т.е. количество фондов в сельском хозяйстве на душу населения в долях того количества фондов в сельском хозяйстве на душу населения, которое имелось в 1970 г. Значение полагается равным 0.3. Таким образом, значение характеристики в 1970 г. принимается равным единице.

─ эта характеристика называется «материальным уровнем жизни». Здесь ─ множитель, учитывающий уменьшение эффективности фондов в промышленном производстве, происходящее из-за уменьшения количества природных ресурсов и влекущее увеличение трудозатрат на их извлечение. Множитель определен следующей записью:

(NRFR)		0.25	0.5	0.75
NREMt		0.15	0.5	0.85

 

Здесь и далее такая запись означает следующее: является значением таблично заданной функции . Функция задается списком пар чисел, перечисленных в столбцах таблицы. В каждой из этих пар в первой строке стоит значение аргумента, во второй ─ значение функции при этом значении аргумента. В данном случае таким аргументом является характеристика ─ относительное количество природных ресурсов в году , т.е. количество природных ресурсов в долях того их количества, которое имелось в 1970 г. Если значение аргумента не совпадает с каким-либо аргументом в одной из пар списка, то значение функции вычисляется линейной интерполяцией. Если значение аргумента выходит за пределы крайних значений аргументов, фигурирующих в парах, то функции присваиваются значения, соответствующие крайним значениям аргумента. Из таблицы, задающей функцию NREM_t, видно, что при значении равном 1, значение функции также равно 1. Другими словами, множитель в 1970 г. равен 1. Полное исчерпание природных ресурсов, т.е. значение равное нулю, в соответствии с приведенной выше таблицей снижает эффективность фондов в промышленности до нуля.

Пары чисел, задающих функцию (), являются внешними характеристиками. Другими словами, функция () является внешней функцией излагаемой модели. Эта внешняя функция, как и остальные функции такого же рода, которые будут появляться далее, «придумана» Дж. Форрестером. Имеется в виду тот факт, что идентифицировать функцию () как внешнюю функцию модели невозможно в силу отсутствия измерений необходимых для этого характеристик. (Более того, даже если бы мы располагали неограниченными возможностями измерять всё что угодно, то все равно идентифицировать модель МД невозможно, поскольку не вполне понятно, что измерять).

Далее вводятся промежуточные характеристики, с использованием которых, в конце концов, определяются темпы изменения внутренних характеристик, фигурирующих в правых частях уравнений излагаемой модели (1) – (5).

(POLR)
FPMt	1.02	0.9	0.65	0.32	0.2	0.1	0.05

 

Эта таблица описывает уменьшение производства продуктов питания от относительного загрязнения . Напомним, что . В силу этой зависимости при увеличении уровня загрязнения по сравнению с 1970 г. в 25 раз производство продуктов питания упадет на 50 %. Если же уровень загрязнения по сравнению с 1970 г. увеличится в 60 раз, то производство продуктов питания упадёт до 5 % от уровня 1970 г.

 

(CR)	0.0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0
FCMt	2.4		0.6	0.4	0.3	0.2

 

Эта таблица описывает уменьшение производства продуктов питания от относительного количества населения на Земле или (что то же самое) от относительной плотности людей на Земле. Напомним, что:

(CIRA)
FPCIt	0.5		1.4	1.7	1.9	2.05	2.2

 

Данная функция, трактуемая в [1] как количество пищи на душу населения в год, называется «пищевым потенциалом» фондов в сельском хозяйстве: чем больше относительная величина фондов в сельском хозяйстве, тем больше величина . В 1970 г., когда значение характеристики равно единице, пищевой потенциал в соответствии с функцией равен единице.

─ относительный уровень питания. Это «реальное» количество пищи на душу населения в год, т.е. пищевой потенциал, умноженный на коэффициенты, учитывающие уменьшение производства продуктов питания вследствие загрязнения и увеличения плотности населения:

(FR)
BRFMt			1.6	1.9

 

Эта таблица учитывает зависимость темпа рождаемости от относительного уровня питания . При значении , равном единице, множитель равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.

(CR)
BRCMt	1.05		0.9	0.7	0.6	0.55

 

Эта таблица учитывает зависимость темпа рождаемости от относительной плотности населения . При значении , равном единице, множитель равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.

(MSL)
BRMMt	1.2		0.85	0.75	0.7	0.7

 

Эта таблица учитывает зависимость темпа рождаемости от материального уровня жизни . При значении , равном единице, множитель равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.:

(POLR)
BRPMt	1.02	0.9	0.7	0.4	0.25	0.15	0.1

 

Эта таблица отражает зависимость темпа рождаемости от относительного уровня загрязнения .

0.04 ─ коэффициент рождаемости в 1970 г.

Теперь, наконец, можно написать уравнение, определяющее скорость (темп) увеличения людей на Земле:

· · · · · .

Аналогично дело обстоит со скоростью (темпом) уменьшения людей на Земле. Для определения этой характеристики вводятся характеристики , , , , имеющие смысл, аналогичный смыслу характеристик , , , :

(MSL)		0.5		1.5		2.5		3.5		4.5
DRMMt		1.8		0.8	0.7	0.6	0.53	0.5	0.5	0.5	0.5

 

(CR)
DRCMt	0.9		1.2	1.5	1.9

 

(POLR)
DRPMt	0.92	1.3		3.2	4.8	6.8	9.2

 

(FR)		0.25	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75
DRFMt				1.4		0.7	0.6	0.5	0.5

 

0.028 ─ коэффициент смертности в 1970 г.

Теперь можно написать уравнение, определяющее темп (скорость) уменьшения количества людей на Земле:

· · · · · .

Темп (скорость) уменьшения природных ресурсов из-за их извлечения для нужд производства определяется следующим образом:

· · ,

где 1.

(MSL)
NRMMt			1.8	2.4	2.9	3.3	3.6	3.8	3.9	3.95

 

Эта таблица учитывает зависимость от уровня жизни . Чем больше уровень жизни, тем с большей интенсивностью извлекаются природные ресурсы.

Темп (скорость) увеличения производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве определяется формулой:

· · ,

(MSL)
CIMt	0.1		1.8	2.4	2.8

 

где зависимость учитывает возрастание этой скорости в зависимости от уровня жизни , 0.05.

Темп уменьшения производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве определяется следующей простой формулой:

· ,

где 0.025.

Темп увеличения загрязнения определяется следующей формулой:

· · ,

где 1, а множитель POLCM_t описывает увеличение темпа в зависимости от количества производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве на душу населения:

 

(CIR)
POLCMt	0.5			5.4	7.4

 

Темп уменьшения загрязнения благодаря механизму самоочистки окружающей среды определяется следующей формулой: . Характеристика , определённая выше, трактуется как характерное время разложения загрязнителей. Эта характеристика определяется таблицей:

 

(POLR)
POLATt	0.6	2.5			11.5	15.5

 

Характеристика CFIFR_t зависит от относительного уровня питания и определяется таблицей:

 

(FR)		0.5		1.5
CFIFRt		0.6	0.3	0.15	0.1

 

Характеристика описывает увеличение части производственных фондов в сельском хозяйстве: считается, что уменьшение уровня питания влечёт повышение доли производственных фондов в сельском хозяйстве. Для определения характеристики , участвующей в определении скорости увеличения доли фондов в сельском хозяйстве, необходимо ввести следующие характеристики:

─ качество жизни. Эта характеристика является произведением «стандартного качества жизни» (значение которого, относящееся к 1970 г., есть ) на четыре сомножителя, учитывающих зависимость качества жизни от материального уровня жизни , плотности населения , уровня питания и относительного уровня загрязнения . Значения перечисленных множителей определяется следующими таблицами:

 

(MSL)
QLMt	0.2		1.7	2.3	2.7	2.9

 

(CR)		0.5		1.5		2.5		3.5		4.5
QLCt		1.3		0.75	0.55	0.45	0.38	0.3	0.25	0.22	0.2

 

(FR)
QLFt			1.8	2.4	2.7

 

(POLR)
QLPt	1.04	0.85	0.6	0.3	0.15	0.05	0.02

 

(QLM/QLF)		0.5		1.5
CIQRt	0.7	0.8		1.5

 

Опишем теперь последовательность вычислений, с помощью которой происходит переход от значений внутренних характеристик , , , , в момент к их значениям в момент . Вычисления начинаются с момента . В этот момент, как следует из приведенного выше описания, постулированы следующие начальные значения внутренних характеристик:

,

,

,

,

0.3.

Пусть теперь значения , , , , при некотором известны. Последовательно вычисляются следующие характеристики:

,

,

,

,

· ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

· · · · · ,

где коэффициент рождаемости в 1970 г. 0.04,

,

,

,

,

· · · · ,

где коэффициент смертности в 1970 г. 0.028,

, где =1,

,

· · ,

где скорость извлечения природных ресурсов в 1970 г. =1,

,

,

· · ,

где скорость увеличения производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве в 1970 г. 0.05,

· ,

где амортизация производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве в 1970 г. 0.025,

,

,

· · ,

где скорость увеличения загрязнения в 1970 г. 1,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

CIAF_t+1 = CIAF_t + DT × × (CFIFR_t × CIQR _t - CIAF_t),

где характерное время изменения фондов в сельском хозяйстве (если принять характерное время изменения фондов в промышленности за 1) 15.

Модель МД содержит четыре параметра, способных ограничить рост населения — это истощение природных ресурсов, увеличение уровня загрязнения, перенаселённость, нехватка продуктов питания.

В результате исследований было установлено, что модель, описанная в данной главе, представляет систему, в которой процесс роста сменяется упадком. Приведём результаты одного из экспериментов, где этот упадок вызван истощением природных ресурсов (рис. 1):

 

Рис. 1. Исходный вариант модели[*]

 

На этот эксперимент далее будем ссылаться как на «исходный», или «основной» и большинство р