Ряды распределения и их характеристики

Средние величины

Средняя арифметическая простая:

.

Средняя арифметическая взвешенная:

.

Средняя арифметическая взвешенная по способу моментов:

`х = х<sub>0</sub> + k × `х¹,

где х₀ – условный нуль;

k – величина, на которую делят разность между значениями вариантов и условным нулем (х – х₀);

`х¹ – момент первого порядка, определяемый по формуле

.

Средняя гармоническая простая:

.

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где F – объем признака F = хf.

 

Типовая задача 1. Рассчитать среднее время горения электроламп методом моментов:

 

Таблица 4.1

Группы электроламп по времени горения, ч	Число электроламп, шт (f)	Х	Х-Х0 (Х0=1300)	К = 200
800-1000			-400	-2	-4
1000-1200			-200	-1	-8
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Итого

 

,

`х = 1300 + 0, 2 × 200 = 1340.

 

Типовая задача 2. Определить время изготовления одной детали.

Таблица 4.2

Порядковый номер рабочего
Время, затраченное рабочим на изготовление 1-й детали, мин

 

В задаче неизвестно, сколько деталей изготовлено каждым рабочим (f), но известно, что каждый рабочий отработал полную смену. Продолжительность смены есть объем признака F = xf. Так как объемы признака у рабочих равны (продолжительность смены одна и та же), то для расчета используем формулу средней гармонической простой.

,

.

Структурные средние

Мода – наиболее часто встречающаяся величина признака в совокупности:

где Х_mo – нижняя граница модального интервала;

i_mo – величина модального интервала;

f_mo, f_mo-1, f_mo+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.

Медиана – значение признака, делящего ранжированный ряд на две равные части:

где Х_me – нижняя граница медианного интервала;

i_me – величина медианного интервала;

å f – сумма частот ряда;

S_me-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_me – частота медианного интервала.

 

Типовая задача 3. По данным типовой задачи 5 определить моду и медиану.

Для определения моды выбираем тот интервал, у которого максимальная частота. Это будет третий интервал (1200 - 1400).

Для определения медианы выбираем тот интервал, у которого сумма накопленных частот содержит половину всех частот. Это опять тот же 3-й интервал 1200 – 1400 (сумма накопленных частот этого интервала: 2 + 8 + 16 = 26. Половина всех частот: 40/2 = 20). Сумма накопленных частот до медианного интервала: 2 + 8 = 10.

Показатели вариации

Размах вариации:

.

Среднее линейное отклонение:

Простое Взвешенное

Дисперсия:

При неравенстве частот При равенстве частот

. .

Среднее квадратическое отклонение:

.

Дисперсия альтернативного признака:

,

где р – доля единиц совокупности, обладающих признаком;

g – доля единиц совокупности, не обладающих признаком.

Упрощенный способ расчета дисперсии:

,

где

Моментальная формула расчета дисперсии:

где

Коэффициент вариации:

.

Правило сложения дисперсии:

,

где ` - средняя из групповых дисперсий.

где - групповые или частные дисперсии.

где d² – межгрупповая дисперсия.

Типовая задача 4. Проверить правило сложения дисперсии по исходным данным:

Таблица 4.3

Группы рабочих по размеру среднедневной заработной платы, р.	Число рабочих
Цех 1	Цех 2	Цех 3	Всего по заводу
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
Итого

 

Определяем по способу моментов среднюю заработную плату (`х), дисперсию (s<sup>2</sup>) для всей совокупности рабочих (10000 человек), а также среднюю заработную плату и дисперсию для каждого цеха (т.е. средние`х₁, `х<sub>2</sub>, `х_3, и групповые дисперсии s₁², s₂², s₃²), как это показано в табл. 3.4.

Для всей совокупности:

Средние по группам:

Групповые дисперсии:

Средняя из групповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Подставляя в формулу соответствующие значения, получаем

s² = 230, 67 + 2, 33 = 233.

 

Задачи

4.1. Имеются следующие данные о выпуске продукции по 23 предприятиям, млн. р.

28 94 19 25 35 32 23 25

86 15 32 42 34 13 34 50

4 36 60 32 2 56 54

Определить средний объем выпуска на одно предприятие.

 

4.2. Определить среднемесячную ЗП рабочих предприятия.

Таблица 4.4

Исходные данные к задаче 4.2

Месячная ЗП, р.	Число рабочих, чел.
ИТОГО

 

4.3. Определить средний стаж работников торгового предприятия.

Таблица 4.5

Исходные данные к задаче 4.3

Продолжительность стажа работы, лет	Частость, w %
ИТОГО

4.4. Бригада было занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь обтачивал одну деталь 12 минут, второй – 15 мин., третий – 11 мин., четвертый – 16 мин. и пятый – 14 мин. Определить среднее время, затрачиваемое на изготовление одной детали.

4.5. Имеются следующие данные об издержках производства и себестоимости продукции по трем предприятиям. Определить среднюю себестоимость продукции.

Таблица 4.6

Исходные данные к задаче 4.5

Номер предприятия	Издержки производства, млн. р.	Себестоимость единицы продукции, р.

4.6. Определить среднюю заработную плату рабочих по двум цехам за сентябрь, октябрь и в целом за два месяца.

 

 

Таблица 4.7

Исходные данные к задаче 4.6

Номер цеха	Сентябрь	Октябрь
Средняя ЗП, р.	Число рабочих, чел.	Средняя ЗП, р.	Фонд ЗП, р.
Итого	-		-

4.7. Определить среднюю урожайность зерновых в целом по всем хозяйствам.

Таблица 4.8

Исходные данные к задаче 4.7

Хозяйство	Урожайность зерновых, ц/га	Валовой сбор зерна, ц
		18 000
		30 000
		63 000
		44 000
		30 000
ИТОГО	-	185 000

4.8. Автомашина совершила рейс общей протяженностью 500 км, из которых 240 км прошла со скоростью 30 км/ч, 160 км – со скоростью 40 км/ч, а 100 км – со скоростью 25 км/ч. Определить среднюю скорость, с которой двигалась машина.

4.9. Двое рабочих в течение 8-часового рабочего дня были заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый изготовил 32 детали, а второй – 24 детали.

Определить среднее значение затрат времени на изготовление одной детали.

4.10. Автомашина шла 3 часа со скоростью 30 км/ч, 5 часов – 40 км/ч, 2 часа – 50 км/ч. Определить среднюю скорость.

 

4.11. Определить с помощью метода моментов средний размер товарооборота.

Таблица 4.9

Исходные данные к задаче 4.11

Группы предприятий по размеру товарооборота, млн. р.	Число предприятий
до 400
400 – 500
500 – 600
600 – 700
Свыше 700
ИТОГО

 

4.12. Определить моду.

Таблица 4.10

Исходные данные к задаче 3.12

Группы рабочих по уровню образования, число классов	до 4
Число рабочих, чел.

 

 

4.13.Определить моду.

 

 

Таблица 4.11

Исходные данные к задаче 4.13

Размер совокупного дохода на члена семьи, р.						свыше 260
Число семей, % к итогу

 

4.14. Определить моду.

Таблица 4.12

Исходные данные к задаче 4.14

Группы порций торфа по влажности, %	Число проб
20 – 22
22 – 24
24 – 26
26 – 28
28 – 30
30 – 32
ИТОГО

 

4.15. Определить моду и медиану.

Таблица 4.12

Исходные данные к задаче 4.15

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий
100 – 200
200 – 300
300 – 400
400 – 500
500 – 600
600 – 700
700 – 800
ИТОГО

 

4.16. Определить моду и медиану.

Таблица 4.13

Исходные данные к задаче 4.16

Тарифный разряд	Число рабочих
ИТОГО

 

4.17. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих. Определить среднее линейное отклонение.

Таблица 4.14

Исходные данные к задаче 4.17

Произведено продукции одним рабочим за смену, шт., x	Число рабочих f
ИТОГО

 

4.18. Определить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Таблица 4.15

Исходные данные к задаче 4.18

Продукция на 100 га угодий, млн. р.	Число хозяйств
ИТОГО

4.19. Определить показатели вариации.

Таблица 4.16

Исходные данные к задаче 4.19

Число изделий, шт.	Число рабочих, чел. f
до 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
ИТОГО

 

4.20. Определить дисперсию по способу моментов.

Таблица 4.17

Исходные данные к задаче 4.20

Группы предприятий по выпуску продукции, т	Число предприятий, % к итогу
1000 - 3000
3000 – 5000
5000 – 7000
7000 – 9000
9000 – 11000
ИТОГО

 

4.21. Определить дисперсию по способу моментов.

Таблица 4.18

Исходные данные к задаче 4.21

Группы работников по стажу работы, лет	Число работников, % к итогу
до 2	-
2 – 4
4 – 6
6 – 8
8 – 10
10 – 12
12 – 14
Свыше 14
ИТОГО

 

Домашнее задание

Задача 1. Определить среднедневное число деталей, обработанных одним рабочим каждой бригады и в целом по двум бригадам.

Таблица 4.19

Номер рабочего 1 бригады	Дневная выработка рабочего 1 бригады, шт.	Номер рабочего 2 бригады	Дневная выработка рабочего 2 бригады, шт.
	*

 

Задача 2. Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:

Таблица 4.20

Завод 1	Завод 2
затраты времени на единицу продукции, час	изготовлено продукции, шт.	затраты времени на
единицу продукции, час	всю продукцию, час
		1, 8
2, 8		2, 4

Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.

Задача 3. Определить среднюю цену реализации.

Таблица 4.21

Предприятие	Цена единицы продукции, р.	Объем реализации, млн. р.
ИТОГО	-

 

Задача 4. Определить среднее число рабочих в бригаде.

 

Таблица 4.22

Группы бригад по числу рабочих, чел.	Число бригад
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 50
46 – 50
ИТОГО

Задача 5. Имеются данные по 2-м заводам, вырабатывающим одноименную продукцию. Определить для каждого года отдельно средние затраты времени на единицу продукции по двум заводам вместе.

Таблица 4.23

Завод	Предыдущий год	Текущий год
Затраты времени на единицу продукции, час	Изготовлено продукции, млн. шт.	Затраты времени на единицу продукции, час	Затраты времени на всю продукцию, час
			1, 8
	2, 2

 

 

Задача 6. Распределение численности рабочих и служащих по возрасту в промышленности, сфере услуг и медицины характеризуется следующими данными:

 

Таблица 4.24

Возраст, лет	Численность рабочих и служащих в процентах к итогу
промышленность	сфера услуг	медицина
До 25		14, 1	5, 1
25-35	34, 9	29, 7	7, 9
35-45	35, 6	26, 3	11, 5
45-50	8, 1	12, 8	27, 7
50-55	7, 3	10, 5	24, 6
55-60		4, 5	15, 4
60 и старше	1, 1	2, 1	7, 8
Итого

 

Определите моду, медиану, квартили и децили возраста работающих по отраслям народного хозяйства. Сделайте выводы.

Задача 7. Имеются следующие данные о длине маршрута движения городского транспорта:

 

Таблица 4.25

Длина маршрута, км	До 8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	Свы-ше 18
Число единиц городского транспорта, в процентах к итогу	3, 0	12, 8	15, 2	15, 3	38, 0	10, 4	5, 3

 

Определите моду, медиану, квартили и децили длины маршрута городского транспорта.

 

Задача 8. Определить:

1) среднюю урожайность в 2011 и 2012 гг.

2) изменение средней урожайности в 2012 г. по сравнению с 2011 г.

3) показатели вариации за 2012 г.

Таблица 4.26

Номер хозяйства	2011 г.	2012 г.
Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность пшеницы, ц/га	Валовой сбор зерновых, ц
	19, 0		21, 2
	20, 5		22, 0
	23, 0		24, 0

Задача 9. Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. р.):

Таблица 4.27

	01.01	01.02	01.03	01.04	01.05	01.06	01.07
Стоимость имущества, млн. р.

Определите среднегодовую стоимость имущества:

 

1) за I квартал;

2) за II квартал;

3) за полугодие в целом.

 

Задача 10. По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации: 4, 4 4, 3 4, 4 4, 5 4, 3 4, 3 4, 6 4, 2 4, 6 4, 1

 

 

Задача 11. По имеющимся данным рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации:

 

Количество филиалов в городе организации, х	Число банков f
Итого	20

 

Задача 12. По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города рассчитать показатель асимметрии распределения: 4, 4 4, 3 4, 4 4, 5 4, 3 4, 3 4, 6 4, 2 4, 6 4, 1