Статистическое изучение взаимосвязи

Типовая задача 1. Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (х) в тоннах (графы 1 и 2 таблицы).

Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии у по х) и измерить тесноту зависимости между ними.

Решение:

А. Рассматривая уравнение регрессии в форме линейной функции вида`у_х = а₀ + а₁х, параметры данного уравнения (а₀ и а₁) найдем из системы нормальных уравнений:

na₀ + a₁å x = å y,

a₀å x + a₁å x² = å xy.

Таблица 5.1

х	у	х2	ху	`ух = 1, 16 + 0, 547х	у2
				3, 9
				4, 4
				5, 5
				5, 5
				6, 6
				Продолжение табл. 5.1 6, 6
				8, 8
				12, 1
				12, 1
				14, 3

 

Необходимые для решения суммы å х, å у, å х², å ху рассчитаны выше в таблице. Подставляем их в уравнения и решаем систему:

10а₀ + 125а₁ = 80,

125а₀ + 1961 а₁ = 1218.

 

а₀ = 1, 16; а₁ = 0, 547.

Отсюда`у_х = 1, 16 + 0, 547х.

Подставляя в это уравнение последовательно значения х = 5, 6, 8, 10 и т.д., получаем выравненные (теоретические) значения результативного показателя`у_х (графа 5 таблицы).

 

Б. Для измерения тесноты зависимости между у и х воспользуемся прежде всего линейным коэффициентом корреляции (поскольку зависимость рассматривалась линейной):

а) применяем формулу

Находим ху = 121, 8; `х = 12, 5; `у = 8; `х² = 196, 1.

Определяем s_х и s_у, предварительно найдя å у² = 770 и `у² = 77:

Отсюда

Значение линейного коэффициента корреляции r = 0, 96 (т.е. близкое к единице) характеризует не только меру тесноты зависимости вариации у от вариации х, но и степень этой зависимости к линейной;

б) воспользуемся еще одной формулой линейного коэффициента корреляции:

т.е. результат тот же.

При расчете коэффициента корреляции очень важно оценить его значимость. Оценка значимости (существенности) линейного коэффициента корреляции основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой (s_r).

Средняя ошибка коэффициента корреляции при n > 50 рассчитывается приближенно по формуле

Если при этом коэффициент корреляции r превышает свою среднюю ошибку s_r больше чем в 3 раза, т.е. если то он считается значимым, а связь – реальной.

При n < 30 значимость коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого рассчитывается фактическое (расчетное) значение критерия

которое сопоставляется с t_табл, для числа степеней свободы v = n – 2 и заданного уровня значимости (обычно a = 0, 05).

Если t_факт > t_табл, r считается значимым, а связь – реальной. Если t_факт < t_табл, то считается, что связь между х и у отсутствует и значение r, отличное от нуля, получено случайно.

В рассматриваемом примере средняя ошибка коэффициента корреляции:

а

Находим, что при числе степеней свободы v = 10 – 2 = 8 и уровне значимости a = 0, 05 табличное (критическое, пороговое) t равно 2, 306, т.е. t_табл = 2, 306.

Поскольку фактическое (расчетное) t больше табличного, т.е. t_факт > t_табл, то линейный коэффициент корреляции r = 0, 96 считается значимым, а связь между х и у – реальной.

 

Типовая задача 2. По группе однородных предприятий имеются данные об объеме выпущенной продукции и уровне механизации трудоемких и тяжелых работ.

Таблица 5.2

Номер предприятия	Уровень механизации трудоемких и тяжелых работ, %	Объем продукции, млн р.

 

Требуется оценить степень тесноты связи между показателями механизации трудоемких и тяжелых работ и объемом продукции при помощи коэффициента Фехнера.

Решение:

Для расчета коэффициента Фехнера составляется вспомогательная таблица.

Коэффициент Фехнера определяется по формуле

где n_а – количество совпадений знаков (х -`х) и (у -`у);

n_b – количество несовпадений знаков.

В нашем примере (см. табл. 4.3) n_а = 9; n_b = 3. Таким образом

Таблица 5.3

Уровень механизации трудоемких и тяжелых работ (%), х	х -`х	Объем продукции (млн.р.), у	у -`у
	-22		-16
			-47
	-8		-21
	-23		-81
	-4		-1
	-5
	-5
	-13		-13
	-8		-27

 

Полученное значение коэффициента свидетельствует о наличии связи между уровнем механизации работ и объемом продукции.

 

Типовая задача 3. По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные.

Исчислить коэффициент корреляции рангов для оценки тесноты связи между суммой прибыли банка и размером его активов.

Таблица 5.4

Номер банка	Активы банка, млн р.	Прибыль, млн р.
		39, 6
		17, 8
		12, 7
		14, 9
		4, 0
		15, 5
		6, 4
		10, 1
		3, 4
		13, 4

 

Решение:

Для расчета коэффициента корреляции рангов предварительно выполняется ранжирование банков по уровню каждого признака.

 

Таблица 5.5

Номер банка	Активы банка (млн.р.), х	Ранг по х	Номер банка	Прибыль банка (млн.р.), у	Ранг по у
				3, 4
				4, 0
				6, 4
				10, 1
				12, 7
				13, 4
		Продолжение табл. 5.5 7		14, 9
				15, 5
				17, 8
				39, 6

 

Дальнейшие расчеты даны в таблице 5.6:

Таблица 5.6

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента

корреляции рангов

 

Номер	Активы (млн р.), х	Прибыль (млн р.), у	Ранги	di (ранг х – ранг у)	di2
х	у
		39, 6
		17, 8			-1
		12, 7
		14, 9			-2
		4, 0
		15, 5			-6
		6, 4
		10, 1
		3, 4
		13, 4
Итого

 

По таблице определяется при объеме выборки 10 единиц (n = 10) и уровне значимости 5 % (a = 0, 05) критическая величина для рангового коэффициента корреляции. Она составляет ± 0, 6364. Поэтому общий вывод по результату анализа: есть необходимость увеличивать объем выборки.

 

Типовая задача 4. В результате обследования работников предприятия получены следующие данные (чел).

Требуется оценить тесноту связи между уровнем образования и удовлетворенностью своей работой с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

Таблица 5.7

Образование	Удовлетворены своей работой	Не удовлетворены своей работой	Итого
Высшее и среднее
Незаконченное среднее
Итого

 

Решение:

Коэффициент ассоциации – Юла

Коэффициент контингенции – Пирсона

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.

Типовая задача 4. Для изучения влияния условий производства на взаимоотношения в коллективе было проведено выборочное обследование 250 рабочих, ответы которых распределились следующим образом.

Таблица 5.8

Условия производства	Взаимоотношения в коллективе
хорошие	удовлетворительные	неудовлетворительные	итого
Соответствуют требованиям
Не полностью соответствуют		Продолжение табл. 5.8 50
Не соответствуют
Итого

 

Требуется охарактеризовать связь между исследуемыми показателями с помощью коэффициента взаимной сопряженности К. Пирсона и А.А. Чупрова.

Сформулировать вывод.

Решение:

Коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона определяется по формулам:

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова:

Полученное значение коэффициента взаимной сопряженности К. Пирсона свидетельствует, что связь между условиями производства и взаимоотношениями в коллективе весьма заметна. Коэффициент А.А. Чупрова также не опровергает наличие установленной связи.

Типовая задача 5. Пусть имеются следующие условные данные по 5 предприятиям (графы 1, 2, 3, 4 таблицы).

Определить (измерить) тесноту зависимости между у, х и z с помощью коэффициента конкордации (W).

 

Таблица 5.9

Предприятие	Прибыль, млн р., у	Стоимость основных фондов, млн р., х	Затраты на 100 р. продукции, р., z	Ранжирование факторов	Сумма рангов,	Квадраты суммы рангов,
Ry	Rx	Rz
		4, 1
		6, 6
		3, 9
		4, 2
		6, 3

 

По данным таблицы

Решение:

1. Ранжируем каждый из трех показателей (факторов) (графы 5, 6, 7).

2. Находим сумму рангов по каждой строке (графа 8) и общую сумму пяти строк.

3. Возводим в квадрат сумму рангов в каждой строке и находим общую сумму пяти строк (графа 9).

4. Находим S по формуле

где R_i – ранг i-го показателя.

S = 425 – (45)² / 5 = 20.

Этот же результат получим, рассчитывая S по формуле

сначала определяем тогда

5. Рассчитываем коэффициент конкордации:

Учитывая малую величину значения W, можно сказать, что зависимость между рассматриваемыми показателями (факторами) весьма незначительна.

Коэффициент конкордации часто используется в экспертных оценках для определения согласованности мнения m экспертов в распределении мест (рангов) между n исследуемыми факторами или объектами по их приоритетности.

Задачи

5.1. Составить линейное уравнение регрессии и определить тесноту связи между показателями (линейный коэффициент корреляции, теоретическое и эмпирическое корреляционное соотношения, коэффициент детерминации, индекс корреляции) по данным табл. 5.10.

 

Таблица 5.10

Исходные данные к задаче 5.1

№ предприятия	Валовая продукция, млн. р.	Переработано сырья, млн. т.
	2, 4	0, 6
	2, 8	0, 9
	3, 4	1, 2
	3, 6	0, 8
	4, 0	1, 4
	Продолжение табл. 5.10 4, 4	1, 8
	4, 8	1, 6
	5, 3	2, 0
	5, 5	2, 4
	6, 0	2, 7
	3, 2	2, 9
	6, 5	3, 2
ИТОГО	54, 9	21, 5

 

5.2. Составить линейное уравнение регрессии:

x × y = 106; x = 11; x₂ = 137; y = 9; y₂ = 85; a₀ = 4, 8.

 

5.3. Эмпирическое корреляционное соотношение равно 0, 9; величина совокупности - 100.

Дисперсия равна 6, 6. Определить среднюю из групповых дисперсий (внутригрупповую).

 

5.4. Имеет место зависимость выпуска продукции y от размера основного капитала x по 20 предприятиям. Уравнение регрессии имеет вид yx = 12, 0 + 0, 5 × x.

Средняя величина основного капитала x равна 12, 0 млн р.;

среднее квадратическое отклонение основного капитала s x = 3, 5 млн р.

средний выпуск продукции y равен 18 млн р.;

среднее квадратическое отклонение по выпуску продукции s y = 2, 0 млн р.

Определить линейный коэффициент корреляции.

 

5.5. Среднее значение x равно 20, средний квадрат x - 436; среднее значение y - 60; средний квадрат y – 3700; линейный коэффициент корреляции rxy = 0, 75. Составить линейное уравнение регрессии.

 

5.6. Определить тесноту связи между производитель-ностью труда и стажем работы на основе эмпирического корреляционного соотношения.

Таблица 5.11

Группы рабочих по стажу работы, лет	Число рабочих	Дневная производительность труда, шт.	Дисперсия производительности труда, s 2yi
до 5			5, 0
5 – 10			2, 0
10 и более			1, 0
ИТОГО		-	-

 

5.7. Составить линейное уравнение регрессии.

Таблица 5.12

Номер	Доходы, р.	Расходы, р.
		3, 6
		5, 83
		6, 0
		7, 9
		8, 03
		10, 98
		13, 87
		15, 50
ИТОГО	475, 3	71, 71

 

5.8. Составить линейное уравнение регрессии по данным табл. 4.13.

 

Таблица 5.13

Номер	Стаж работы, лет	Выработка на 1 работающего, р.
	Продолжение табл. 5.13 8
ИТОГО

 

5.9. Имеются следующие данные о росте 8 пар братьев и сестер, представленные в табл. 4.14:

Таблица 5.14

Рост брата, см	Рост сестры, см

 

Определить тесноту зависимости между ростом братьев и сестер на основе:

а) коэффициента Фехнера;

б) коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кендэла.

5.10. У восьми учащихся колледжа зафиксировано следующее количество баллов, полученных за самостоятельные работы по математике (х) и по гуманитарным предметам (у):

 

Таблица 5.15

Студент	х	у
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З

 

Для характеристики корреляции между успеваемостью по математике и гуманитарным предметам рассчитать:

а) коэффициент Фехнера;

б) коэффициент корреляции рангов Спирмэна;

в) коэффициент корреляции рангов Кендэла.

 

5.11. На основе опроса 400 работников коммерческих структур и 400 работников бюджетных организаций получено следующее их распределение по ответам на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:

Таблица 5.16

Работающие	Довольные заработной платой	Недовольные заработной платой	Итого
В коммерческих структурах
В бюджетных организациях
Итого

 

1. С помощью критерия Пирсона c² определить, случайно или неслучайно данное распределение.

2. Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.

 

5.12. Имеются следующие данные о распределении 200 молочных ферм области по производительности труда и себестоимости молока:

 

Таблица 5.17

Себестоимость	Производительность
высокая	средняя	низкая	Итого
высокая
средняя
низкая
Итого

 

1. С помощью критерия c² проверить, случайно ли данное распределение, т.е. существует ли зависимость между производительностью труда и себестоимостью молока.

2. Измерить тесноту зависимости между указанными показателями с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

 

5.13. Имеются следующие данные по Северо-Западному району РФ:

Таблица 5.18

Область	Урожайность зерновых, ц/га	Надой молока на одну корову, кг	Урожайность картофеля, ц/га
Ленинградская	16, 3
Новгородская	10, 4
Псковская	10, 6
Вологодская	10, 8

 

С помощью коэффициента конкордации определить, согласуется ли «рейтинг» областей по всем показателям.

 

5.14. Имеются следующие данные по областям Центрально-Черноземного района РФ:

 

Таблица 5.19

Область	ВРП на душу населения в 1997 г., млн.р., х1	Розничный товарооборот на душу населения, млн.р., х2	Обеспеченность жильем, м2 общей площади на одного жителя, х3
Белгородская	12, 25	5, 35	20, 9
Воронежская	10, 33	4, 64	20, 6
Курская	11, 50	4, 78	20, 0
Липецкая	12, 60	5, 83	20, 2
Тамбовская	7, 27	5, 10	19, 4

 

1. Измерить тесноту связи между х₁ и х₂ с помощью коэффициентов корреляции рангов:

а) Спирмэна; б) Кендэла.

2. С помощью коэффициента конкордации W определить, согласуется ли «рейтинг» областей по показателям х₁, х₂, х₃.

 

Домашнее задание

Задача 1. Совокупность разбита на три группы: n₁ = 10; n₂ = 20; n₃ = 20.

Средние значения по группам равны соответственно: x₁ =5; x₂ = 8; x₃ = 15.

Общая дисперсия составляет 18, 5. Определить эмпирическое корреляционное соотношение.

 

Задача 2. Среднее значение x равно 15, средний квадрат x - 289; среднее значение y - 50; среднее квадратическое отклонение по y - 4, линейный коэффициент корреляции rxy = = 0, 6. Составить линейное уравнение регрессии.

Задача 3. Определить тесноту связи, рассчитав линейный коэффициент корреляции, теоретическое корреляционное соотношение, коэффициент детерминации, индекс корреляции. Составить уравнение регрессии.

 

Таблица 5.20

Номер	Доходы, р.	Потребление молока, л
ИТОГО

 

Задача 4. Определить эмпирическое корреляционное соотношение.

Таблица 5.21

Группы рабочих по стажу x	Число рабочих, чел. f	Средний размер ЗП, р.	Дисперсия по ЗП, s2
до 5 лет			14 400
5 лет и более			15 625

 

Задача 5. Получены следующие результаты анкетного обследования рабочих, имеющих вторичную занятость:

Таблица 5.22

Дополнительно заняты	Количество ответов
мужчин	женщин	Всего
На одной работе
На двух работах
На трех работах		-
Всего

 

1. С помощью критерия c² проверить, является ли данное распределение случайным.

2. Измерить тесноту зависимости между признаками, положенными в основу группировки, с помощью коэффициентов взаимной сопряженности:

а) Пирсона; б) Чупрова.

Задача 6. По восьми предприятиям имеются следующие условные данные об энерговооруженности труда (х) и производительности труда (у):

Таблица 5.23

Потребление электроэнергии на одного рабочего, кВт-ч, х	Выработка на одного рабочего, млн.р., у
	2, 3
	3, 8
	4, 0
	3, 9
	4, 5
	5, 4
	5, 1
	6, 0

 

Измерить тесноту зависимости между х и у, используя:

1) коэффициент Фехнера;

2) коэффициенты корреляции рангов;

3) линейный коэффициент корреляции.