ЗМІСТ ЛЕКЦІЙ

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

1. Вступ до курсу. Характерні риси вищої математики, її роль у науково-технічному прогресі. Розділи навчальної програми семестру. Форми контролю. Література. Означення матриці. Види матриць, їх розмірність. Дії над матрицями: додавання матриць, множення матриці на число.Множення матриць. Властивості дій над матрицями.

2. Визначники другого, третього та n-го порядків. Властивості визначників.Мінор та алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа. Приклади обчислення визначників. Обернена матриця. Алгоритм знаходження оберненої матриці.

 

3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь: основні поняття і види. Теорема Крамера. Розв’язування СЛАР за формулами Крамера. Запис СЛАР у матричній формі. Матричний метод розв’язування СЛАР.

 

4. Ранг матриці. Методи знаходження рангу. Теорема Кронекера - Капеллі. Дослідження СЛАР. Метод Жордана - Гаусса. Алгоритм Жордана - Гаусса

 

5. Вектори. Основні поняття. Лінійні операції над векторами. Властивості.Декартові система координат на площині і у просторі. Дії над векторами, заданими своїми координатами. Умова колінеарності та перпендикулярності векторів. Скалярній добуток векторів. Властивості. Векторний та мішаний добутки векторів. Властивості. Основні формули методу координат на площині і у просторі.

 

6. Векторний простір. Лінійна залежність та незалежність векторів. Розмірність та базис векторного простору. Розклад вектора за базисом. Ортогональний базис. Ортогоналізація системи векторів. Перехід до нового базису. Різні види рівняння прямої на площині: канонічне, параметричне, із заданим вектором нормалі, загальне, з кутовім коефіцієнтом, у відрізках на осях, що проходить через дві точки. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Кут між прямими. Відстань від точки до прямої.

 

7. Криви другого порядку: Коло, еліпс, гіпербола, парабола: означення, канонічне рівняння, схематична побудова.

 

8. Поняття множини. Числові множини. Розширення множини дійсних чисел. Множина комплексних чисел. Означення функції. Область визначення та область значень. Способи завдання. Графік функції. Характеристики функції: парність, періодичність, монотонність, екстремуми. Складна та обернена функції.

 

9. Основні елементарні функції та їх графіки (лінійна, степенева, показникові, логарифмічна, тригонометричні). Застосування елементарних функції в економічній теорії: лінійний аналіз попиту та пропозиції, модель національного доходу, двох секторна модель економіки, криві попиту та рівноваги.

 

10. Поняття числової послідовності та її границі. Загальні властивості збіжних послідовностей. Нескінченно мала величина та її властивості. Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою і нескінченно малою величинами. Граничний перехід при арифметичних операціях. Теорема Вейерштрасса. Число е.

 

11. Поняття границі функції в точці. Односторонні границі. Основні теореми про границі. Перша та друга особливі границі. Розкриття невизначеностей.

 

12. Поняття неперервності функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій. Класифікація точок розриву.

 

13. Означення похідної. Алгоритм знаходження похідної. Геометричний зміст. Рівняння дотичної до графіку функції. Механічний та економічний зміст. Залежність між неперервністю і диференційованістю функції. Основні правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій. Таблиця похідних. Похідні вищих порядків.

 

14. Означення диференціалу функції. Геометричний зміст. Правила знаходження диференціалу. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.

 

15. Зростання та спадання функції. Екстремуми функції. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Опуклість, угнутість та точки перегину графіку функції. Асимптоти. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків. Правило Лопіталя. Приклади застосування похідної в економічної теорії.

 

16. Множини точок на площині та в n- вимірному просторі. Означення функції багатьох змінних. Способи завдання ФБЗ. Лінії рівня. Знаходження області визначення функції двох змінних. Границя функції двох змінних. Неперервність функції двох змінних. Графічне зображення функції двох змінних.

 

17. Частинні та повний приріст функції. Означення частинної похідної функції багатьох змінних. Диференційованість функції двох змінних. Достатня умова. Геометричний, механічний та економічний зміст частинних похідних. Похідна за напрямом. Градієнт. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків.

 

18. Екстремум функції двох змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Метод найменших квадратів.

 

19. Поняття первісної. Основна властивість первісних. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл. Властивості. Таблиця основних інтегралів. Безпосереднє інтегрування. Метод підстановки (заміни змінної інтегрування). Інтегрування частинами.

 

20. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Поняття визначеного інтеграла. Властивості. Геометричний, механічний та економічний зміст. Формула Ньютона-Лейбніця. Метод підстановки у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

 

21. Невласні інтеграли із нескінченними межами інтегрування. Невласні інтеграли від розривних (необмежених) функцій. Приклади дослідження невласних інтегралів.

 

22. Задачі, що приводять до диференціального рівняння. Поняття диференціального рівняння, його порядку, загального та частинного розв’язку. Теорема існування та єдності розв’язків ДР з відокремленим та відокремлюваними змінними. Однорідні ДР. Лінійні ДР.

 

23. Зниження порядку деяких ДР другого порядку. Лінійні ДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Розв’язування ЛОДР. Властивості розв’язків ЛОДР. Структура загального розв’язку ЛНДР. Рекомендації щодо знаходження частинного розв’язку ЛНДР.

 

24. Числові ряди. Основні поняття. Деякі властивості збіжних рядів. Ряд геометричної прогресії. Гармонічний ряд. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами.

 

25. Поняття функціонального та степеневого рядів. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Зображення функцій степеневими рядами.Ряди Тейлора і Маклорена. Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій.

 

ПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТВКИ ДО ІСПИТУ

1. Матриці і дії з ними. Знаходження оберненої матриці.

2. Поняття визначника n-го порядку. Властивості визначників.

3. Мінор та алгебраїчне доповнення.

4. Ранг матриці. Обчислення рангу матриці.

5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однорідні системи.

6. Матричний метод розв’язування СЛАР.

7. Теорема Крамера.

8. Теорема Кронекера-Капеллі.

9. Метод Жордана-Гаусса.

10. Векторний добуток векторів. Властивості.

11. Змішаний добуток векторів. Властивості.

12. n - вимірний вектор та векторний простір. Базис. Розклад вектора за базисом.

13. Різні види рівняння прямої. Взаємне розміщення двох прямих.

14. Загальне рівняння площини. Умова паралельності та перпендикулярності площин.

15. Криві другого порядку (означення, канонічні рівняння, схематична побудова).

16. Означення функції. Основні характеристики функції.

17. Основні елементарні функції, які використовуються в економічних дослідженнях.

18. Означення послідовності. Границя послідовності. Основні теореми про границі.

19. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Зв’язок між ними.

20. Означення границі функції. Односторонні границі. Основні теореми про границі. Перша та друга особливі границі.

21. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

22. Неперервність функції в точці та на проміжку. Основні теореми про неперервні функції.

23. Точки розриву та їх класифікація.

24. Означення похідної. Геометричний, механічний та економічний зміст. Дотична до кривої.

25. Правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій.

26. Диференціал функції. Геометричний зміст. Застосування до наближених обчислень.

27. Основні теореми диференціального числення.

28. Зростання та спадання функції. Екстремуми функції.

29. Знаходження найменшого та найбільшого значення функції на заданому відрізку.

30. Опуклість, угнутість та точки перегину графіку функції.

31. Означення і правила знаходження асимптот графіку функції.

32. Загальна схема дослідження функції та побудови графіку.

33. Означення функції багатьох змінних. Область визначення, графік та лінія рівня.

34. Границя та неперервність ФБЗ.

35. Частинні похідні ФБЗ. Геометричний, механічний та економічний зміст.

36. Повний диференціал ФБЗ. Застосування до наближених обчислень.

37. Похідна за напрямом. Градієнт ФБЗ.

38. Екстремуми ФБЗ. Необхідна і достатня умови існування екстремуму функції двох змінних..

39. Поняття умовного екстремуму та функції Лагранжа.

40. Первісна. Невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтеграла.

41. Визначений інтеграл. Основні властивості. Формула Ньютона-Лейбніця.

42. Поняття та різновиди невласних інтегралів. Дослідження невласних інтегралів.

43. Звичайні диференціальні рівняння (ДР). Основні поняття. Задача коші.

44. ДР з відокремлюваними змінними.

45. Однорідні ДР першого порядку.

46. Лінійні ДР першого порядку.

47. ДР другого порядку.

48. Лінійні однорідні ДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

49. Знаходження частинного розв’язку неоднорідного ДР другого порядку.

50. Лінійні однорідні та неоднорідні різницеві рівняння n-го порядку.

51. Числові ряди. Основні поняття. Збіжність рядів. Необхідна умова збіжності.

52. Ряд геометричної прогресії. Гармонічний ряд.

53. Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами.

54. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.

55. Степеневі ряди. Інтервал та радіус збіжності.

56. Розклад функцій в степеневий ряд.