ТЕОРЕТИЧНА ДОВІДКА

 

Інтеграли типу можуть бути проінтегровані за допомогою підстановок Ейлера:

· при ;

· при ;

· при , де - корені тричлена .

27.3 Знайдіть інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) .

Практичне заняття № 28

ТЕМА Обчислення визначених інтегралів.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 260-276 [7], 291-296 [1], 419-426 [5], 278-293 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Як будується інтегральна сума для функції f(x) на відрізку[ a; b ]?

2. Дайте означення визначеного інтеграла

3. Визначений інтеграл існує, якщо функція …

4. Якими формулами описують основні властивості визначеного інтеграла?

5. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла?

6. В чому полягає економічний зміст визначеного інтеграла?

7. Який вигляд має формула Ньютона-Лейбніця?

8. Який вигляд має формула інтегрування частинами визначеного інтеграла?

9. Який вигляд має формула обчислення визначеного інтеграла методом

підстановки та як при цьому знаходять нові межі інтегрування по

змінній t?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

28.1 Обчислити інтеграли:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

 

28.2 Обчислити методом заміни змінної:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

28.3 Обчислити інтеграли методом інтегрування частинами:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

 

Практичне заняття № 29

ТЕМА Дослідження збіжності невласних інтегралів.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 278-288 [7], 298-300 [1], 440-443 [5], 294-305 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Які інтеграли називають невласними?

2. Які існують різновиди невласних інтегралів?

3. Як дослідити збіжність невласних інтегралів?

4. Як визначають інтеграли з нескінченними межами інтегрування?

=

=

=

5. Як визначають невласний інтеграл від функції необмеженої в околі

точки і неперервної на піввідрізку (а; b ]?

6. Як визначають невласний інтеграл від функції необмеженої в околі точки

b і неперервної на піввідрізку [ а; b)?

7. Як визначають невласний інтеграл від функції необмеженої

в околі точки с Î (a; b) і неперервної на піввідрізках [ а; c) i (c; b ]?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

29.1 Обчислити інтеграли з нескінченними межами або встановити їх

розбіжність:

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

29.2 Обчислити інтеграли від необмеженої функції або встановити їх розбіжність:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Практичне заняття № 30

 

ТЕМА Застосування визначених інтегралів до геометричних, механічних та

економічних задач.

 

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 289-303[7], 307-312 [1], 429-437 [5], 294-312 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. За якою формулою знаходять площу криволінійної трапеції, обмеженої відрізком [ a; b ], прямими х = а, х = b та графіком функції у = f(x) у випадках:

а) ; б) ;

в) f(x) декілька разів змінює свій знак?

 

2. За якою формулою знаходять площу фігури, обмеженої кривими

та прямими х = а, х = b?

 

3. За якою формулою знаходять роботу, виконану змінною силою F(s) для точки

М із положення s = a до положення s = b?

 

4. В чому полягає економічний зміст визначеного інтеграла?

5. Якщо функція Кобба-Дугласа має вигляд , то обсяг виробленої продукції за Т років складе …

 

6. Як знайти кількість товару Q, необхідну народонаселенню на відтинку часу , якщо функція споживання має вигляд ?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

30.1 Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

30.2 Швидкість руху точки

Знайдіть: 1) шлях, пройдений точкою за 3 с від початку руху;

2) шлях, пройдений точкою за 3-ю секунду;

3) шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

 

30.3 Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору з швидкістю

Знайти найбільшу висоту піднімання тіла.

 

30.4 Знайти обсяг продукції, виробленої за 4 роки, якщо функція Кобба-Дугласа

має вигляд .

30.5 Обчислити обсяг продукції, виготовленої робітником протягом 8 – годинного

робочого дня, якщо продуктивність праці робітника змінюється за законом

. Скільки продукції виготовив би робітник, якщо працював би всю

зміну з максимальною продуктивністю?

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

 

30.6 Максимізація прибутку. Відомі закони зміни швидкості витрат та

доходу підприємства, де час t вимірюється роками, а витрати та

доход вимірюються млн. грн. За який час підприємство одержить

максимальний прибуток? Якою буде величина максимального прибутку?

1) ;

2) .

 

30.7 Стратегія розвитку. Фірма може обрати одну з двох стратегій розвитку:

1) вкласти у виробництво млн. грн. з умовою одержання

щорічного прибутку млн. грн. на протязі років;

2) вкласти у виробництво млн. грн. з умовою одержання щорічного

прибутку млн. грн. протягом років. Номінальна облікова щорічна

ставка 10%. Який прибуток матиме фірма за кожною стратегією?

Яка стратегія краще?

а) = 25, = 10, = 20, = 60, = 20, = 10;

б) = 8, = 2, = 12, = 20, = 5, = 8.

30.8 Зростання капіталу. В період капітал неперервне вкладається в

підприємство із швидкістю . Якщо вкладення зростає неперервне з номінальним прибутком R відсотків, тоді остаточну величину вкладеного за цей час капіталу знаходять за формулою

Обчислити остаточне значення капіталу, якщо R =10, T=10 у таких випадках:

1) ;

2) ;

3)

Яка із трьох стратегій цієї вправи дає максимальне значення остаточного

капіталу?

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ І САМОСТІЙНОЇРОБОТИ

Завдання 1 (для непарних варіантів)

 

Знайти інтеграл методом інтегрування частинами:

 

Варіант 1.

Варіант 3.

 

Варіант 5.

 

Варіант 7.

Завдання 1 (для парних варіантів)

 

Знайти інтеграл методом заміни змінної:

 

Варіант 2.

Варіант 4.

Варіант 6. Варіант 8. .

 

Завдання 2 Дослідити невласний інтеграл та обчислити його у випадку збіжності:

 

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 3. Варіант 4.

 

Завдання 3 Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

 

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 3. Варіант 4.

Завдання 4

 

1. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

а) для парних N: ; б) для непарних N: .

 

2. Знайти площу області, обмеженої заданими лініями.

а) для парних N: параболою та локоном Аньєзі

у (дивись малюнок)

 

 

 

0 х

 

б) для непарних N: параболами та .

Завдання 5 Розв’яжіть задачі економічного змісту.

 

1. Запас товару, який утворюється після відпуску його зі складу торгуючими організаціями, визначається функцією (х- кількість робочих днів складу). Знайдіть запас товару за днів.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

2. Денна продуктивність праці (за 7 робочих годин) робітника судноремонтного

заводу описується функцією , де t – час у годинах, р – кількість

продукції.Скільки продукції зробить робочий за днів?

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

3. Фонди організації зростають завдяки добровільним внескам. Функція описує одержання внесків за t днів. Чому дорівнює дохід , що, очікується за днів?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОМАШНЬОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №2

 

ТЕМА. Інтегральне числення

ЗАВДАННЯ

 

В пунктах а) і б) знайти невизначений інтеграл. Результат перевірити диференціюванням. У пункту в) обчислити визначений інтеграл.

 

Варіант 1. ; ;

Варіант 2. ; ;

Варіант 3. ; ;

Варіант 4. ; ;

Варіант 5. ; ;

Варіант 6. ; ;

Варіант 7. ; ;

Варіант 8. ; ;

Варіант 9. ; ;

Варіант 10. ; ;

Варіант 11. ; ;

Варіант 12. ; ;

Варіант 13. ; ;

Варіант 14. ; ;

Варіант 15. ; ;

Варіант 16. ; ;

Варіант 17. ; ;

Варіант 18. ; ;

Варіант 19. ; ;

Варіант 20. ; ;

Варіант 21. ; ;

Варіант 22. ; ;

Варіант 23. ; ;

Варіант 24. ; ;

Варіант 25. ; ;

Варіант 26. ; ;

Варіант 27. ; ;

Варіант 28. ; ;

Варіант 29. ; ;

Варіант 30. ; ; .