Основні теоретичні відомості. Запуск та основні елементи робочого вікна MatLabЗапуск та основні елементи робочого вікна MatLab Для запуску програмного забезпечення MatLab необхідно натиснути кнопку Пуск→ Программы→ MATLAB→ R2009a→ MATLAB R2009a або відповідний ярлик на робочому столі чи на панелі швидкого запуску. Після завантаження програми відкриється робоче вікно, яке показано на рис.1.1.
Рис.1.1. Робоче вікно MatLab Це вікно має наступні основні елементи: 1 – Меню та панель інструментів. Застосовується для створення, зберігання, редагування файлів та інших операцій; 2 – Командне вікно (Command Window). Застосовується для запису команд та виконання обчислень; 3 – Робоча область (Workspace). Усі дані, що з’являються у MatLab автоматично зберігаються у вигляді масиву у робочій області, де записується ім’я (Name) та розмір масиву (Value). Навіть якщо користувач створив число, воно також записується у вигляді масиву розміром 1x1; 4 – Поточний каталог (Current Directory). Відображає шлях для зберігання та відкриття файлів; 5 – Історія команд (Command History). Відображає усі команди, що були введені у командному вікні за деякий час. MatLab автоматично сортує команди за датою їх вводу. Основні арифметичні операції та принципи їх застосування Після запуску програми курсор знаходиться у командному вікні. Після символу > > можна вводити різноманітні команди з бази даних MatLab, зокрема: 1. «*»(«.*») – множення (поелементне множення). Якщо у командному вікні ввести з клавіатури вираз > > 2*3 та натиснути клавішу Enter, то результат з’явиться у тому ж вікні у вигляді ans =
Число 6 одночасно з’явиться також у робочій області та буде називатися ans. Наступна будь-яка операція замінить масив ans результатом її виконання. Щоб зберігати усі масиви у робочій області, потрібно кожній операції присвоїти ім’я змінної, наприклад > > g=3*4 Тоді на екрані з’явиться відповідь у наступній формі
g =
а у робочій області з’явиться новий масив g, що має значення 12. Поелементне множення застосовується для множення векторів та масивів, що буде розглянуто пізніше; 2. «/» («./») – ділення (поелементне ділення); 3. «+» («–») – сума (різниця); 4. «^»(«.^») – піднесення до степеня (поелементне піднесення); 5. «sqrt» – визначення квадратного кореня. Ця команда аналогічна запису «^(1/2)»; 6. «sin», «cos», «tan», «cot» – тригонометричні функції синус, косинус, тангенс та котангенс відповідно; 7. «exp» – експоненціальна функція. Запис exp(2) означає 8. «log» – визначення натурального логарифму. Необхідно підкреслити, що у випадку коли після будь-якої команди поставить знак крапки з комою «;», то результат виконання цієї команди не відобразиться у командному вікні. Це не означає, що отриманий результат не можна використовувати у наступних розрахунках, бо він автоматично записується у робочу область, наприклад > > p=9*2-sqrt(56)+exp(2)-(3^2)/45; Результат не з’явився на екрані, але змінна p зберігається у робочій області. Тепер її можна використовувати у розрахунках, наприклад > > p*10-7
ans =
170.0574 MatLab також дозволяє коментувати елементи програм. Для створення коментарю необхідно після закінчення команди написати символ процентів «%» і вставити будь-який текст, наприклад > > x=15; %Завдання змінної х > > b=x^2; %Визначення квадрату х Способи завдання векторів Як відомо, вектори можуть бути рядками або стовпцями. MatLab дозволяє задати обидва типи векторів. Наприклад потрібно створити вектор > > a=[1 2 3] та у результаті отримується a =
1 2 3 Для створення вектора-стовпця потрібно розділити елементи вектора знаком «;», наприклад > > b=[1; 2; 3] У результаті b =
Основні операції з векторами Для роботи з векторами застосовуються наступні операції: 1. «+» – сума векторів. У результаті отримується новий вектор, кожен елемент якого є сума відповідних елементів векторів, що додаються, наприклад > > a=[1 2 3]; > > b=[3 4 5]; > > c=a+b
c =
4 6 8 2. «.*» – поелементне множення векторів. У результаті отримується новий вектор, кожен елемент якого є добуток відповідних елементів векторів, що множаться, наприклад > > a=[1 2 3]; > > b=[3 4 5]; > > c=a.*b
c =
3 8 15 3. «.^» – піднесення до степеня кожного елемента вектора, наприклад > > a=[1 2 3]; > > d=a.^2
d =
1 4 9 4. «./» – поелементне ділення векторів. У результаті отримується новий вектор, кожен елемент якого є результат від ділення відповідних елементів векторів, що діляться, наприклад > > a=[4 6 10]; > > b=[2 3 5]; > > a./b
ans =
2 2 2 5. «.\» – зворотне поелементне ділення векторів. На відміну від звичайного ділення елементи другого вектора діляться на елементи першого > > a=[1 2 3]; > > b=[1 4 6]; > > a.\b
ans =
1 2 2 Слід мати на увазі, що при застосуванні операцій поелементного множення та ділення вектори повинні бути одного типу та одного розміру. 6. «prod» – операція перемноження елементів вектора. Створюється число, що дорівнює добутку всіх елементів вектора, наприклад > > a=[1 2 3]; > > prod(a)
ans =
7. «sum» – операція додавання елементів вектора. Створюється число, що дорівнює сумі всіх елементів вектора, наприклад > > a=[1 2 10]; > > sum(a)
ans =
8. «min» («max») – операція знаходження мінімального (максимального) елемента вектора, наприклад > > a=[56 2 3 6 23 7 9 100 78]; > > min(a)
ans =
Можна також знаходити не тільки сам елемент, а його порядковий номер. Це робиться наступним чином > > a=[12 34 6 78 96 3 45 9 87 23]; > > [m, r]=min(a)
m =
r =
Тобто у створеному масиві мінімальний елемент 3, а його порядковий номер 6. 9. «sort» – сортування елементів вектора на збільшення, наприклад > > a=[56 2 3 6 23 7 9 100 78]; > > b=sort(a)
b =
2 3 6 7 9 23 56 78 100 Для сортування елементів вектора у зворотному порядку (на зменшення) потрібно записати команду наступним чином > > a=[56 2 3 6 23 7 9 100 78]; > > b=-sort(-a)
b =
100 78 56 23 9 7 6 3 2 10. «abs» – визначення модуля елементів вектора. Усі від’ємні елементи стають додатними, наприклад > > a=[1 2 -3 4 -7]; > > abs(a)
ans =
1 2 3 4 7 11. «.'» – виконує транспонування вектора, наприклад > > a=[1 2 3 5]; > > d=a.'
d =
12. «size» – визначає розмір вектора (або матриці), наприклад для вектора > > a=[1 2 3 4 7]; > > size (a)
ans =
1 5 13. «cross» – знаходить векторний добуток двох векторів, наприклад > > a=[1 2 3]; > > b=[4 5 6]; > > s=cross(a, b)
s =
-3 6 -3 Для того, щоб визначити скалярний добуток векторів, необхідно застосувати наступні команди > > a=[1 2 3]; > > b=[4 5 6]; > > c=sum(a.*b)
c =
Це аналогічно запису Звернення до елементів векторів та операції з ними Для звернення до будь-якого елемента вектора необхідно у круглих дужках вказати його номер, наприклад для вектора > > a=[1 2 3 5 7]; > > a(4)=8
a =
1 2 3 8 7 З цими елементами можна виконувати будь-які математичні операції і навіть формувати з них нові вектори. Наприклад, заданий вектор > > a=[1 2 3 5 7 9]; > > b=a(1)+a(2); > > c=a(3)*a(4); > > d=a(6)-a(5); > > e=[a(1) a(3) a(5)]
e =
1 3 7 Способи завдання матриць Існує три способи завдання матриць у MatLab. Нехай дана матриця
Необхідно створити її у робочій області. 1 - й спосіб. > > A=[3 1 -1; 2 4 3]
A =
3 1 -1 2 4 3
2 - й спосіб. > > A=[3 1 -1 2 4 3]
A =
3 1 -1 2 4 3 3 - й спосіб. > > A=[[3; 2] [1; 4] [-1; 3]]
A =
3 1 -1 2 4 3 Основні операції з матрицями Всі операції з векторами також застосовуються для перетворення матриць. Наприклад, потрібно перемножити дві матриці
> > A=[3 1 -1; 2 4 3]; > > B=[2 4; 6 5; -1 2]; > > C=A*B
C =
13 15 25 34 Звернення до елементів матриці та операції з ними Щоб звернутися до будь-якого елемента матриці необхідно у круглих дужках задати спочатку номер рядка і через кому номер стовпця, наприклад > > A=[3 1 -1; 2 4 3]; > > A(1, 3)=5
A =
3 1 5 2 4 3 Аналогічно як і з елементами векторів, з елементами матриць можна виконувати будь-які математичні операції та створювати з них нові матриці або вектори, наприклад > > A=[3 1 -1; 2 4 3]; > > B=A(1, 1)+A(1, 2)+A(1, 3)
B =
Вирішення систем лінійних алгебричних рівнянь матричним методом Як відомо, за допомогою матриць можна вирішувати системи лінійних алгебричних рівнянь. MatLab робить це за допомогою команди «\». Наприклад, задана система рівнянь вигляду
Створюються необхідні матриці та застосовується команда «\» > > A=[1.2 0.3 -0.2; 0.5 2.1 1.3; -0.9 0.7 5.6]; > > B=[1.3; 3.9; 5.4]; > > X=A\B X = 1.0000 1.0000 1.0000 Матриці «спеціального» вигляду Існує декілька матриць «спеціального» вигляду для полегшення вводу інформації. 1. «zeros» – матриця, заповнена нулями. Можна створювати квадратну матрицю (у цьому випадку у дужках записується лише одне число – розмір квадратної матриці) або матрицю довільного розміру (у дужках вказується кількість рядків і через кому кількість стовпців), наприклад > > A=zeros(3) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
> > B=zeros(2, 3) B = 0 0 0 0 0 0 2. «eye» – одинична матриця (квадратна матриця з одиницями по головній діагоналі), наприклад > > A=eye(4) A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3. «ones» – матриця, що складається з усіх одиниць. Створюється так само, як і матриця із нулями, наприклад > > A=ones(4) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > > B=ones(2, 3) B = 1 1 1 1 1 1 4. «rand» – матриця, що заповнюється випадковими десятковими числами, наприклад > > A=rand(4) A = 0.8147 0.6324 0.9575 0.9572 0.9058 0.0975 0.9649 0.4854 0.1270 0.2785 0.1576 0.8003 0.9134 0.5469 0.9706 0.1419 > > B=rand(2, 3) B = 0.4218 0.7922 0.6557 0.9157 0.9595 0.0357 5. «diag» – матриця із заданими елементами по діагоналі та іншими нульовими елементами. Для створення цієї матриці необхідно попередньо задати вектор-діагональ, наприклад > > d=[1 2 3 4]; > > A=diag(d)
A = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 У якості діагоналей також можна використовувати матрицю «ones» та множити її на будь-яке число, наприклад > > A=5*diag(ones(1, 4)) A = 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 Також можна рухати діагоналі паралельно головній, заповнюючи її елементами. Для цього у команді «diag» потрібно ставить кому і написати на скільки діагоналей угору або униз буде відбуватися зміщення (для зміщення униз потрібно перед числом ставити мінус). Треба також пам’ятати, що зі зміщенням униз або угору діагоналі змінюють свою розмірність. За допомогою команди «diag» можна також додавати або віднімати діагоналі від існуючих матриць, наприклад > > A=-2*eye(4)+4*diag(ones(1, 3), 1) A = -2 4 0 0 0 -2 4 0 0 0 -2 4 0 0 0 -2 Для більш детального приклада, розглядається наступна матриця
Спочатку потрібно створити діагональну матрицю, помножену на 2, потім зсунути одну діагональ угору, створену з одиниць і помножену на 3, та дві униз (одну з одиниць, помножену на -1, іншу на 4). Це виконується за допомогою наступної послідовності команд
> > A=2*eye(5) A = 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 > > A=2*eye(5)+3*diag(ones(1, 4), 1) A = 2 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 > > A=2*eye(5)+3*diag(ones(1, 4), 1)-1*diag(ones(1, 4), -1) A = 2 3 0 0 0 -1 2 3 0 0 0 -1 2 3 0 0 0 -1 2 3 0 0 0 -1 2 > > A=2*eye(5)+3*diag(ones(1, 4), 1)-1*diag(ones(1, 4), -)+4*diag(ones(1, 3), -2) A = 2 3 0 0 0 -1 2 3 0 0 4 -1 2 3 0 0 4 -1 2 3 0 0 4 -1 2 6. «tril» та «triu» – команди створення трикутників під та над головною діагоналлю відповідно. Синтаксис запису такий як і в команді «diag». Трикутники можна також рухати униз та угору і множити на числа, наприклад > > A=triu(ones(4, 4), 1) A = 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 > > B=tril(ones(4, 4), -1) B = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Особливості створення блочних матриць Вектори та матриці можна використовувати як компоненти для більш великих матриць. Нехай потрібно заповнити наступну матрицю
де Створюється матриця, два вектори та число, потім вони групуються в одну матрицю: > > S=[2 0; 0 3]; > > b=[-9 9]; > > a=[4; 5]; > > E=[S a; b 7] E = 2 0 4 0 3 5 -9 9 7
|
;
. Для цього у командному вікні набирається
розмір буде 1х5
.
необхідно значення його четвертого елемента змінити на число 8. Це робиться наступним чином
. Потрібно додати його перший і другий елементи, перемножити третій і четвертий, відняти від останнього п’ятий та створити новий вектор з трьох непарних елементів. Це робиться наступним чином
.
.
,
, 
, 
.
