Игра 2-х лиц без седловой точки. Смешанные стратегии

Одна из возможностей расширения стратегий игроков – разнообразить способ выбора своей стратегии, например, «случайно».

Как мы уже отмечали, в отсутствии седловой точки, игрок А, применяя свою максиминную стратегию, выиграет не менее , а игрок В, применяя свою минимаксную стратегию, проигрывает не более , где . Применение чистых стратегий в каждой партии такой игры не дает возможность игрокам увеличить выигрыш , чем уменьшить проигрыш . Для того, чтобы это было возможным необходимо применять не одну, а несколько чистых стратегий, чередуя их случайным образом с какими-то частотами. Такая стратегия получила название смешанной (ее элементами являются чистые стратегии).

Смешанная стратегия имеет смысл при условии, что игра состоит из более чем одной партии.

 

Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через

и , где

- вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии , - вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии .

Причем и .

Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности и отличны от 0 называются активными.

Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т.е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.

 

Решение игры, не имеющей седловой точки может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.

Графическое решение игр вида и

Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Рассмотрим следующую игру (без седловой точки)

Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице

 

В А			…
			…
			…

 

Отсюда видно, что ожидаемый выигрыш игрока А линейно зависит от . В соответствии с критерием минимакса игрок А должен выбирать так:

 

 

Чистые стратегии игрока В	Ожидаемые выигрыши игрока А
…	…
N

 

Пример:

 

Вj Аi	В1	В2	В3	А1 доминирующая одинаковые В4
А1				6
А2
А3
А4

 

Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.

 

Вj Аi	В1	В2	В3	В4
А1
А4

В3 доминирующая

 

 

Вj Аi	В1	В2	В4
А1
А4
				2

Х1

-цена игры	Чистая стратегия Игрок В	Ожидаемый выигрыш игрока А
	-6х1 + 8	zZ1
	-2х1 + 6	zZ2
	5х1 + 1	zZ3
	Чистая стратегия Игрока А	Ожидаемый выигрыш Игрока В
	-4у1+6
	7у1+1

 

 

Задачи (для самостоятельной работы):

1. «Семейный спор». Пусть со стороны мужа и жены имеется два взаимоисключающих предложения провести наступающий вечер: муж предлагает остаться дома и смотреть телевизор, жена – пойти в театр. Построить для данной конфликтной ситуации «платежные» матрицы для мужа и жены.

 

2. «Отгадывание монет». Пусть у каждого игрока имеется по 2 монеты: 1 руб. и 2 руб. если при подбрасывании обоих момент их стороны совпадают, то деньги забирает первый игрок, если нет, второй. Построить платежную матрицу для первого игрока. Есть ли у данной игры седловая точка?

 

3. Пусть в двух местных предприятиях в цехах ширпотреба предлагают выпустить оригинальную елочную игрушку к Новому году. У предприятия «Заря» от предыдущих сезонов остались штампы для изготовления «птичек», а у продукции «Луч» – для изготовления «рыбок», что ограничивает планы этих предприятий игрушкой соответствующей формы. Каждое предприятие может выпускать игрушки в одном из вариантов: цветном и серебристом, причем себестоимость и продажная цена всех 4-х видов игрушек одинакова. Одновременно же выпуск предприятием игрушки в цветном и серебристом вариантах с самого начала признан экономически не выгодным и поэтому не рассматривается. За пределы города эта продукция не вывозится. В самом же городе, как установили социологи, найдет сбыт одна тысяча штук игрушек всех видов, причем спрос на них распределяется в соответствии с данными.

 

	УП	УР	СП	СР
УП	Х	40%	70%	90%
УР	60%	Х	30%	50%
СП	30%	70%	Х	20%
СР	10%	50%	80%	Х

 

Определить оптимальную стратегию предприятий в следующих двух предложениях:

а) будем считать, что руководство «Луча», своевременно узнает какую игрушку решила выпустить «Заря», а когда «Заря» узнает, какую игрушки выпустил «Луч», перестраиваться ей уже будет поздно;

б) информация о выпуске продукции неизвестна, ни той, ни другой стороне.

4. Дана платежная матрица.

В А	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3			-1
А4	-3			-1

 

Определить оптимальную стратегию игроков.

Тема 6. Балансовые модели.

 

В основе этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся ресурсов, например, трудовых, и потребностей в них.

Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц. Такую структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм и т.д. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единства системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно, на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице.

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
			…	…	n
. . . n	x11 x21 x31       xn1	x12 x22 x32       xn2	x13 x23 x33       xn3	… …     …	… …   …	x1n x2n x3n       xnn	Y1 Y2 Y3     Yn	X1 X2 X3 … … … Xn
Амортизация   Оплата труда   Чистый доход	С1   V1	С2   V2	С3   V3	…	…   …	Cn   Vn
Валовая продукция	X1	X2	X3	…	…	Xn

Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых связей. Представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте представленная конечная продукция всех отраслей материального производства, направленная на потребление и накопление (характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода).

Третий квадрант МОБ тоже характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Сумма амортизации (С_j) и чистой продукции (V_j+m_j) некоторой отрасли будем называть чистой продукцией этой отрасли и обозначить Z_j.

Четвертый квадрант баланса отражает конечное распределение и использование национального дохода. Общий итог этого квадранта, как второго и третьего должен быть равен созданному за год национальному доходу. Рассмотрим два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

 

, (6.1)

 

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли.

, (6.2)

 

Просуммируем по всем отраслям уравнение (6.1), в результате чего получим

 

 

Аналогичное суммирование уравнений (6.2) дает:

 

 

Отсюда следует соблюдение соотношения

 

(6.3)

 

Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

 

, (6.4)

 

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-ой отрасли.

С учетом формулы (6.4) систему баланса (6.2) можно переписать в виде

, (6.5)

 

или в матричной форме

(6.6)

 

Система уравнений (6.5) или в матричной форме (6.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).

С помощью этой модели можно выполнить 3 варианта расчетов:

А) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (), можно определить объемы конечной продукции каждой отдельной отрасли ():

 

(6.7)

 

В) Задав величины конечной продукции всех отраслей (), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ():

 

(6.8)

 

С) Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6.6), а системой линейных уравнений (6.5).

 

Пусть , то (6.9)

Или , (6.10)

 

Коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.

Определение 2. Коэффициенты полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли.

Анализ модели МБ приводит к следующим выводам:

а) – по определению;

б) , т.к. процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продуктов, чем создавалось;

в) - из содержательных систем .

Определение 3. Матрица называется продуктивной, если существует такой , что (6.11). Отсюда следует, что для продуктивной матрицы из (6.6) существует положительный вектор конечной продукции .

Для того, чтобы матрица была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.

1) матрица неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица .

2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна .

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , т.е. решения характеристического уравнения

строго меньше единицы

4) все главные миноры матрицы , порядка от 1 до n положительны.

Замечание. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы является следующий признак , т.е. если величина наибольшего из сумм ее элементов в каждом столбце < 1, то матрица продуктивна.

 

Пример 1. Для трехотраслевой эконономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

 

 

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц:

а) находим матрицу (Е-А)

 

 

б) вычисляем определитель этой матрицы:

 

 

в) транспортируем матрицу (Е-А):

 

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы

Таким образом, присоединенная к матрице матрица имеет вид:

 

 

д) используя формулу (6.9), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

 

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (6.8):

 

 

2. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы: . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину ; элементы второго столбца матрицы А умножить на ; элементы третьего столбца матрицы А умножить на .

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (6.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в табл.

 

Таблица 6.1

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
	232, 6 155, 1 232, 6	51, 0 255, 0 51, 0	291, 8 0, 0 145, 9	200, 0 100, 0 300, 0	775, 3 510, 1 729, 6
Условно чистая продукция	155, 0	153, 1	291, 9	600, 0
Валовая продукция	775, 3	510, 1	729, 6		2015, 0

 

Задачи (для самостоятельного решения):

1. Дана структурная схема взаимодействия двух отраслей:

Определить матрицу прямых затрат. Проверить ее продуктивность.

 

2. Дана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Проверить продуктивность матрицы А. Найти матрицу полных материальных затрат, валовую продукцию каждой из отраслей. Построить балансовую таблицу.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Анфилатов В.С. «Системный анализ в управлении», 2003г.

2. Антонов А.В. «Системный анализ», М. Высшая школа, 2004г.

3. Губанов В.А. и др. «Введение в системный анализ». Изд-во ЛГУ, 1988г.

4. Захарченко Н.Н., Минеева Н.В. «Основы системного анализа»:

Часть I. - СПб: Изд-во Санкт – Петербургского университета экономики и финансов, 1992.-78с.

5.Зайченко Ю.П. «Исследование операций». Киев: «Вища школа»,

1975-320с.

6. «Исследование операций в экономике»: Учебное пособие для вузов по эконом. специальностям/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, 1999.-407с.

7. Перегудов Ф.П., Тарасенко Ф.П. «Основы системного анализа». Томск: Изд-во НТЛ. 1997.-396с.

8. Робертс Ф.С. «Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам». М.: Наука, 1986.-496с.

9. Теория систем и системный анализ в управлении организациями. Справочник под. Редакцией В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2006-846с.