Теоретическое введение. Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости, при этом нить натянута и закручивается

Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости, при этом нить натянута и закручивается. Если шар отвести от положения равновесия (точка С на оси ) на некоторый угол (рис.2.1) и затем отпустить, то он будет совершать колебания. Такая система представляет собой наклонный маятник.

По величине затухания колебаний этого маятника можно определить силу трения и коэффициент трения качения.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебания с коэффициентом трения.

Пусть А – точка поворота на траектории шарика (рис.2.1). В этом положении нить маятника составляет угол с осью . При отсутствии трения через половину периода маятник оказался бы в точке , а угол отклонения был бы равен . Но наличие трения приводит к тому, что шар немного не докатится до точки и остановится в точке В. В этой точке угол нити с осью будет равен . Это значит, что за половину периода угол отклонения маятника уменьшился на величину .

Точки А и В расположены на разных потенциальных уровнях, и поэтому, потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А.

Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки А и В на ось и обозначим длину этого отрезка через (рис. 2.2). Тогда

, 1.2

где L - длина нити. L = const.

Так как ось наклонена к горизонту под углом (рис.2.2), то

. 2.2

С учетом 1.2 получим

. 3.2

При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками А и В будет равно

. 4.2

Найдем работу силы трения. Так как

, 5.2

где k – коэффициент трения, N – сила нормального давления, то

. 6.2

Путь , пройденный шариком, равен длине дуги АВ,

. 7.2

Тогда

. 8.2

Учитывая, что

9.2

будем иметь

. 10.2

По закону сохранения энергии

11.2

и значит:

. 12.2

Отсюда легко получить

. 13.2

Это выражение можно упростить. Так как достаточно мало, то

. 14.2

Учитывая условие /14/ можно получить

. 15.2

С учетом 15.2 выражение 13.2 можно переписать в виде

16.2

или

. 17.2

Из полученного выражения следует, что потеря угла зависит от величины угла и коэффициента трения k.

Однако можно найти такие условия, при которых от угла не зависит.

Так как коэффициент трения k достаточно мал, то и слагаемым в выражении 17.2 можно пренебречь. С другой стороны, угол достаточно мал и поэтому, можно считать, что . С учетом этих замечаний выражение 17.2 примет вид

. 18.2

Тогда за одно полное колебание изменение угла будет равно

. 19.2

Отсюда

. 20.2

Полученное выражение дает удобный способ для определения коэффициента трения качения k.