Задачи и упражнения. 8.1. Определите тип ошибки репрезентативности при следу­ющих условиях отбора:

 

8.1. Определите тип ошибки репрезентативности при следу­ющих условиях отбора:

а) для установления среднего размера вклада населения в коммерческих банках производится отбор счетов в соответствии с их номерами. Будет ли ошибка выборки случайной?

б) с целью изучения вопросов оплаты труда промышленные предприятия отбирают механическим путем через определенный интервал исходя из данных о численности промышленно-производственного персонала. Как это отразится на структуре выбо­рочной совокупности?

в) отбор семей сотрудников ведется на предприятиях всех форм собственности на основе списка работающих. Какие семьи получают преимущества при таком отборе?

8.2. Из приведенных выборочных обследований определите данные, которые содержат систематическую ошибку регистра­ции, а также данные, имеющие систематическую ошибку репре­зентативности, в следующих случаях:

а) при изучении производительности труда из совокупности заведомо были исключены рабочие со стажем менее одного года;

б) при обследовании состояния животноводства в фермерс­ких хозяйствах из-за небрежности счетчиков в некоторых хозяй­ствах не полностью был учтен молодняк скота;

в) при наблюдении с целью выявить количество смежных специальностей, которыми владеют рабочие завода, не учитыва­лись ученики;

г) при выборочном обследовании бюджета времени работаю­щих, как оказалось впоследствии, затраты времени на прачеч­ную и химчистку вместо статьи «Покупка товаров и получение услуг» были включены в статью «Работа на дому».

8.3. Укажите способ отбора в следующих выборках:

а) при обследовании дневной загрузки продавцов магазина города отбирался каждый десятый среди продовольственных магазинов и каждый пятый среди непродовольственных;

б) для изучения потерь рабочего времени на заводе каждый час в карте наблюдения фиксируется, чем заняты рабочие;

в) при изучении среднего количества слов в телеграмме от­биралась каждая двадцатая телеграмма;

г) при обследовании продолжительности срока службы ме­таллорежущих станков отбирался каждый третий цех предприя­тия;

д) при выборочном обследовании бюджета времени работа­ющих отбирается каждое пятое предприятие из общего списка их отрасли, а затем на отобранных предприятиях отбирается каждый десятый рабочий или служащий.

8.4. Организуется выборочное обследование наличия у сель­ского населения мини-тракторов. Ниже описаны возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше?

а) отбирается каждый пятый населенный пункт, и в каждом из них производится сплошное обследование;

б) отбирается каждая пятая семья из общего списка семей;

в) совокупность семей расчленяется на группы: и пропорци­онально численности групп производится отбор семей.

8.5. Что произойдет с величиной предельной ошибки выбор­ки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0, 954 до 0, 997; б) уменьшить с 0, 954 до 0, 683; в) увеличить с 0, 683 до 0, 954; г) уменьшить с 0, 997 до 0, 954; д) увеличить с 0, 683 до 0, 997?

8.6. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокуп­ности: а) уменьшить в 2, 5 раза; на 40%; б) увеличить в 1, 5 раза; на 20%. Как нужно применить необходимую численность вы­борки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%; на 30%?

8.7. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки собственно-случайной бесповторной и повтор­ной выборок при 1%-ном, 5, 10 и 20%-ном отборе?

8.8. Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях); а) при отборе 50 единиц или 50 серий? б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3, 5 раза больше межгрупповой? в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0, 25, а эмпирическое кор­реляционное отношение равно 0, 49 при типическом отборе и 0, 81 – при серийном?

8.9. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2%, если дисперсия доли неизвестна, а от­бор производится из совокупности, включающей: а) 1000 еди­ниц; б) 10 000 единиц; в) 100 000 единиц? Вероятность, гаран­тирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0, 954,

8.10. Каким должен быть объем случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 10 000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 20, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0, 997?

8.11. С целью определения трудоемкости изготовления дета­лей на предприятии произведен хронометраж работы 50 рабо­чих, отобранных в случайном порядке. По данным обследова­ний получили = 10 мин, при σ = 1 мин. Определите:

а) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 1, 5 раза?

б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 2 раза?

в) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дис­персии в 1, 44 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2, 56 раза?

г) как изменится ошибка выборки, если численность гене­ральной совокупности будет в 3 раза больше?

8.12. Из партии импортируемой продукции на посту Москов­ской региональной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая оказалась равной 6% при среднем квадратическом отклонении 1%. С вероятностью 0, 683 определите пределы средней влажно­сти продукта во всей партии импортируемой продукции.

8.13. С целью определения средних затрат времени при по­ездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0, 954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин. при среднем квадратическом отклонении 15 мин.?

8.14. В одном из лесничеств Рязанской области методом слу­чайной выборки обследовано 1000 деревьев с целью установле­ния их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при σ = 126, 5 мм. С вероятностью 0, 683 определите пределы средне­го диаметра деревьев в генеральной совокупности.

8.15. Из партии в 1 млн. шт. мелкокалиберных патронов пу­тем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт.

Результаты испытаний представлены в следующей таблице:

Дальность боя, м							Итого
Число патронов, шт.

 

С вероятностью 0, 954 определите среднюю дальность боя по выборке, ошибку выборки и возможные пределы средней даль­ности боя для всей партии патронов.

8.16. В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:

Возраст, лет
Число студентов, чел.

 

Установите: а) средний возраст студентов вуза по выборке; б) величину ошибки при определении возраста студентов на ос­нове выборки; в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0, 997.

8.17. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было про­верено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Мож­но ли с вероятностью 0, 954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?

8.18. С целью определения среднего размера вклада в отде­лениях Сбербанка города предполагается провести механичес­кую выборку лицевых счетов из общего числа 67800. По дан­ным предыдущего обследования установлено среднее квадратическое отклонение размера вклада, равное 140 руб. С вероятностью 0, 997 определите необходимый объем выборочной совокуп­ности при условии, что ошибка выборки не превысит 10 руб.

8.19. Финансовая корпорация с численностью сотрудников 750 человек путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем работы свыше 3 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдуще­го обследования дисперсия стажа составила 0, 16, а результаты выборочного наблюдения требуется гарантировать с вероятнос­тью 0, 683 и ошибкой не более 5%?

8.20. Сколько телефонных разговоров необходимо обследо­вать на основе случайной повторной выборки, чтобы ошибка при определении доли телефонных разговоров с длительностью более 5 мин. не превышала 10% с вероятностью 0, 954?

8.21. На площади в 50 га, занятой пшеницей, определяется с помощью выборочного метода доля посева, пораженная насеко­мыми-вредителями. Сколько проб надо взять в выборку, чтобы при вероятности 0, 997 определить искомую величину с точнос­тью до 3%, если пробная выборка показывает, что доля пора­женной посевной площади составляет 6%?

8.22. Данные текущего учета населения города с численнос­тью жителей 1 млн. 250 тыс. человек были подвергнуты выбо­рочной разработке на основе случайной бесповторной выборки. В результате было установлено, что доля женщин в возрасте до 55 лет составила 43%, доля мужчин в возрасте 16-60 лет – 36%, доля населения в возрасте до 16 лет – 17%. Каков должен быть процент отбора, чтобы с вероятностью 0, 683 ошибка доли по указанным группам населения не превышала 0, 5%?

8.23. Определите, сколько персональных компьютеров следу­ет подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповтор­ной выборки, чтобы с вероятностью 0, 954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьюте­ров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

8.24. На основе случайной бесповторной выборки планиру­ется 10%-ное обследование доли различных признаков, характе­ризующих население области. Какова должна быть минималь­ная численность населения области, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0, 997 при определении доли всех под­лежащих регистрации признаков не превышала 0, 5%?

8.25. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Ре­зультаты обследования представлены в следующей таблице:

Тип гостиницы	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.

 

С вероятностью 0, 954 определите пределы средней месячной заработной платы всех сотрудников гостиниц.

8.26. При обследовании семейных бюджетов населения горо­да была организована 10%-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы населения по семейному положению	Объем выборки	Доля расходов на оплату жилья, %
Одинокие Семейные

 

С вероятностью 0, 683 установите границы доли расходов на оплату жилья населением города.

8.27. В распоряжении организатора выборочного обследова­ния магазинов области имеются предварительные данные о ге­неральной совокупности:

Типические группы магазинов	Численность групп	Дисперсия товарооборота
Продовольственные Непродовольственные		1, 2 0, 7

 

С вероятностью 0, 954 определите предельные ошибки сред­него товарооборота при механическом внутри групп отборе 100 магазинов, пропорциональном: а) численности типических групп; б) вариации признака в группах.

8.28. При планировании выборочного обследования занятос­ти мужского населения сельских районов республики имеются следующие данные:

Район	Численность мужчин в трудо­способном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых мужчин, % (оценка)
	3, 5
	5, 6
	1, 7
	2, 8

С вероятностью 0, 954 определите необходимый объем типи­ческой пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповтор­ном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5%.

8.29. На АО «Машиноаппарат» 2400 станков, в том числе то­карных – 960, фрезерных – 720, шлифовальных – 480, прочих – 240. С целью исследования производительности станков плани­руется организовать типическую пропорциональную выборку станков с механическим отбором внутри групп. По результатам аналогичного обследования на другом подобном предприятии среднее квадратическое отклонение составило 60. Сколько стан­ков необходимо отобрать из каждой группы, чтобы ошибка вы­борки не превышала 20 единиц при вероятности 0, 997?

8.30. Партия электроламп упакована в 200 коробок по 100 шт. в каждой. Средняя длительность горения электроламп составля­ет 1150 ч, а межсерийная дисперсия - 200. Качество электро­ламп проверяется на основе серийного 3%-ного случайного бес­повторного отбора. Определите: а) предельную ошибку при ус­тановлении средней длительности горения электроламп: б) пре­делы контролируемого параметра в генеральной совокупности. Выводы сделайте с вероятностью 0, 954.

8.31. Для обследования всхожести семян они были распреде­лены на 50 равновеликих серий. На основе механического отбо­ра было проверено 10 серий, в которых удельный вес взошед­ших семян составил 80%. С вероятностью 0, 683 установите границы доли всхожести семян во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 841.

8.32. В процессе подготовки выборочного обследования ка­чества импортируемых кондитерских изделий была проведена пробная проверка 8 ящиков для сбора данных о вариации их веса. Результаты проверки представлены в следующей таблице:

№ ящика
Средний вес коробки в ящике, г

 

Сколько ящиков с кондитерскими изделиями необходимо отобрать для проверки качества в порядке бесповторного отбора, чтобы с вероятностью 0, 997 ошибка выборки не превышала 20 г, если генеральная совокупность включает 1000 равных по вели­чине серий?

8.33. На склад коммерческой организации поступило 480 коробок с микрокалькуляторами, упакованными по 24 калькуля­тора в каждой коробке. Планируется проверить соответствие калькуляторов международным стандартам. Определите необходимый объем выборки, если результат требуется гарантировать вероятностью 0, 954 и ошибкой не более 5%, а межгрупповая дисперсия равна 51.

8.34. Качество партии молочных продуктов, состоящей из 5000 пакетов, упакованных в ящики по 20 пакетов, проверялось с помощью 2%-ной серийной бесповторной выборки. Результаты проверки представлены в следующей таблице:

Показатели	Ящики
Средний срок хра­нения, дней		2, 5	3, 5
Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 3 дней	0, 88	0, 76	0, 92	0, 70	0, 98

 

С вероятностью 0, 997 определите: а) пределы среднего сро­ка хранения молочных продуктов во всей партии; б) пределы доли молочных продуктов со сроком хранения не менее 3 дней.

8.35. По материалам, полученным в результате обработки данных комбинированной выборки, оказалось, что средний процент выполнения норм выработки надомными работника­ми на родственных малых предприятиях составил 120%. Сред­няя из дисперсий этого показателя на отдельных малых пред­приятиях у данной категории работников равна 676, а диспер­сия между предприятиями – 81. С вероятностью 0, 683 рассчи­тайте предельную ошибку выборочной средней при условии, что на первой ступени было отобрано 200 малых предприя­тий, а численность обследованных работников составила 2000.

8.36. С целью проверки качества продукции путем контро­ля среднего размера изделий на комбинате стройматериалов проведена двухступенчатая бесповторная комбинированная вы­борка партии изделий в 5000 шт. Изделия упакованы в ящики по 100 шт. в каждом. На первой ступени в случайном порядке было отобрано 10% всех ящиков, на втором тем же способом – 10% изделий из каждого ящика. Результаты обследования показали, что межсерийная дисперсия среднего размера изде­лий составила 9 мм, а средняя из внутрисерийных дисперсий – 36 мм. С вероятностью 0, 997 определите предельную ошиб­ку среднего размера детали. Рассчитайте этот показатель при условии проверки того же количества изделий на основе од­ноступенчатой бесповторной выборки. Сравнив результаты, сделайте выводы о точности двух способов формирования выборочной совокупности.

8.37. С вероятностью 0, 954 можно ли утверждать, что от­носительная ошибка доли не превысит 6%, если коэффициент вариации равен 48%, в том числе 29% приходятся на межгруп­повую вариацию, а объем комбинированной выборки соста­вит на первой ступени 870 групп, а на второй – 435 единиц наблюдения?

8.38. Результаты сплошного учета скота в фермерских хозяйствах одного из районов Черноземной зоны России по состоянию на 1 января 1998 г. и результаты 10%-ного конт­рольного обхода в данном районе приведены в следующей таблице.

Виды скота	Общая численность поголовья в фермерских хозяйствах по результатам сплошного учета	Численность скота в фермер­ских хозяйствах, охваченных контрольным обходом
по результатам сплошного учета	по результатам контрольного обхода
Крупный ро­гатый скот Овцы Свиньи

 

Уточните данные сплошного учета на основе результатов контрольного обхода и определите численность поголовья скота в районе по видам на 1 января 1998 г.

8.39. При проведении учета количества коммерческих палаток в одном из городов было зарегистрировано следующее их количе­ство: в районе А – 104, в районе Б – 92, в районе В – 120, в районе Г – 68. С целью проверки данных сплошного учета были прове­дены выборочные контрольные обходы части обследованных рай­онов. Их результаты содержатся в следующей таблице:

Районы	Зарегистрировано коммерческих палаток при сплошном учете	Установлено при контрольном обходе
А
Б
В
Г

 

Установите численность коммерческих палаток в городе с учетом результатов контрольных обходов.

8.40. По данным сплошного наблюдения рабочих предприя­тия средние затраты времени на изготовление однотипных дета­лей оказались равными 26 мин. Повторным обследованием 10% рабочих установлено, что средние затраты времени у них состав­ляют 27 мин., в то время как по данным сплошного наблюдения они равны у отобранных рабочих 25 мин. Определите фактичес­кие средние затраты времени на изготовление деталей с учетом результатов повторного выборочного обследования..