МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Выборочное наблюдение является одной из центральных в курсе теории статистики

 

 

Выборочное наблюдение является одной из центральных в курсе теории статистики. Это обусловлено, прежде всего, взаимосвязью данной темы с другими темами, в частности, со статистическим наблюдением, статистическими показателями, таблицами и др. Поэтому освоение теоретического материала, дает возможность правильно решать практические задачи по данной теме, грамотно интерпретировать полученные результаты, а также служат базовым условием успешного изучения в целом курса теории статистики.

Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исследуемую совокупность. При этом наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.

Совокупность, из которой производится отбор единиц, называется генеральной, и все ее обобщающие показатели – генеральными.

Совокупность отобранных единиц называют выборочной совокупностью, а все ее обобщающие показатели – выборочными.

Имеется ряд причин, в силу которых во многих случаях выборочному наблюдению отдается предпочтение перед сплошным. Наиболее существенные из них следующие:

1) экономия времени и средств в результате сокращения объема работы;

2) сведение к минимуму порчи или уничтожения исследуемых объектов (определение прочности пряжи при разрыве, испытание электрических лампочек на продолжительность горения, проверка консервов на доброкачественность);

3) необходимость детального исследования каждой единицы наблюдения при невозможности охвата всех единиц (при изучении пассажиропотоков, при изучении бюджета семей);

4) достижение большой точности результатов обследования благодаря сокращению ошибок, происходящих при регистрации.

Преимущество выборочного наблюдения по сравнению со сплошным можно реализовать, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода. Такими принципами являются: обеспечение случайности (равной возможности попадания в выборку) отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет получит объективную гарантию репрезентативности полученной выборочной совокупности.

Основная задача выборочного наблюдения в экономике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности. При этом следует иметь в виду, что при любых статистических исследованиях (сплошных и выборочных) возникают ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности.

Ошибки регистрации могу иметь случайный и систематический характер. Случайные ошибки обычно уравновешивают друг друга, поскольку не имеют преимущественного направления в сторону преувеличения или преуменьшения значения изучаемого показателя. Систематические ошибки направлены в одну сторону вследствие преднамеренного нарушения правил отбора. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Для каждого конкретного выборочного наблюдения значение ошибки репрезентативности может быть определено по соответствующим формулам, которые зависят от вида, метода и способа формирования выборочной совокупности.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности; при групповом отборе - качественно однородные группы или серии изучаемых единиц; комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.

При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единиц, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе единиц вновь попасть в выборку.

При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует. Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования.

Способ отбора определяет конкретный механизм или процедуру выборки единиц из генеральной совокупности.

В практике выборочных исследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: собственно – случайная, механическая, типическая, комбинированная.

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупностей обозначаются символами:

объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

объем выборки (число обследованных единиц);

генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);

выборочная средняя;

генеральная для (доля единиц, обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности);

выборочная доля;

генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);

выборочная дисперсия того же признака;

среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

среднее квадратическое отклонение в выборке.

При выборочном наблюдении должна быть обеспечена случайность отбора единиц. Каждая единица должна иметь равную с другими возможность быть отобранной. Именно на этом основывается собственно – случайная выборка.

К собственно – случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или какого-либо иного подобного способа, например с помощью таблицы случайных чисел. Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять какой-либо фактор, случая. При этом количество отобранных в выборку единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

 

.

Так, при 5% - ной выборке из партии деталей в 1000 ед. объемом выборки составляет 50 ед., а при 10% - ной выборке – 100 ед. и т. д. При правильной научной организации выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимуму.

Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного наблюдения и формулы ошибок для простой случайной выборки.

Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину количественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля , или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком , к общему числу единиц выборочной совокупности :

 

.

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки или, иначе говоря, ошибка репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

для средней количественного признака

 

; (5.1)

 

для доли

 

. (5.2)

 

Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюдениям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степени выборочные показатели отличаются соответствующих генеральных показателей.

Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности пополи в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

От чего зависит средняя ошибка выборки? При соблюдении принципа случайности отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом выборки: чем больше численности при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования изучаемого признака, как известно, характеризуется дисперсией или для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.

Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степени варьирования признака отражает в формулах, с помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики неизвестны, и следовательно, не представляется возможным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (1). (2).

При случайном повторном отборе средние ошибки выборки рассчитывают по следующим формулам:

для средней количественного признака

 

; (5.3)

 

для доли

 

. (5.4)

 

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности тоже неизвестна, на практике пользуются выборочной дисперсией , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно этому закону выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

для средней количественного признака

 

; (5.5)

 

для доли

 

. (5.6)

 

При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы расчета средних ошибок выборки необходимо подкоренное выражение умножить на коэффициент , поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается объем генеральной совокупности. В связи с этим мы получим следующие расчетные формулы:

для средней количественного признака

 

; (5.7)

 

для доли

 

. (5.8)

 

Механическая выборка применяется в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табельный номер работников, список избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т. п.). Для проведения такой выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотношением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Допустим, из генеральной совокупности в 500000 единиц предполагается получить выборку объемом 10000 единиц. Составляют пропорцию , т. е. необходимо отбирать каждую 50 – ую единицу. Если пропорция равна то отбирается каждая 20 – ая единица и т. д.

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайно или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность. При этом, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы определяется следующим образом:

 

,

 

где объем ой типической группы генеральной совокупности;

объем генеральной совокупности и она равна:

 

;

объем суммарной выборки.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных совокупностей (например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации).

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.

При определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки количественного признака типологической выборки при типологической выборке находят по формулам:

 

(повторный отбор); (5.9)

 

(бесповторный отбор), (5.10)

 

где средняя арифметическая групповых диспепсий:

 

.

 

Здесь дисперсия ой типической группы, и рассчитывается по формуле:

 

;

 

где результат го наблюдения, полученного по выборке из ой типологической группы.

Выборочная средняя ошибка доли определяется следующим образом.

При повторном отборе:

 

, (5.11)

 

где относительная частота (доля), полученная из ой группы.

При бесповторном отборе подкоренное выражение формулы (6.11) умножается на коэффициент .

 

Серийная выборка удобно в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. При серийном отборе случайным или механическим способами выбирают не отдельные единицы, а серий, внутри которых проводится сплошное обследование.

Среднюю ошибку выборки для средней количественного признака при серийном отборе находят по формулам:

 

(повторный отбор) (5.12);

 

(бесповторный отбор), (5.13)

 

где число отобранных серий;

общее число серий.

Межгрупповую дисперсию серийной выборки вычисляют следующим образом:

 

,

 

где средняя ой серий;

общая средняя по всей выборочной совокупности.

Среднюю ошибку выборки для доли при серийном отборе:

 

(повторный отбор); (5.14)

 

(бесповторный отбор). (5.15)

 

Межсерийную дисперсию доли серийной выборки определяют по формуле:

 

,

 

где доля признака в ой серии;

общая доля признака во всей выборочной совокупности.

В практике статистических наблюдений помимо рассмотренных способов применяется их комбинация (комбинированный отбор).

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов.

Выборочные средние и доли распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной, т. е. может быть меньше средней ошибки выборки , равной ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность. Поэтому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью.

Предельную ошибку выборки для средней при случайном повторном отборе можно рассчитать по формуле:

 

, (5.16)

 

где нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записан формула предельной ошибки выборки для доли при случайном повторном отборе:

 

. (5.17)

 

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета предельных ошибок выборки (6.16) и (6.17) необходимо умножить подкоренное выражение на коэффициент .

 

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

 

(для средней); (5.18)

(для доли). (5.19)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от до .

Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли: от до .

При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением предельной ошибкой выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки легко получить непосредственно из формул ошибок выборки.

Так, из формул предельной ошибки выборки для случайного повторного отбора нетрудно (предварительно возведя в квадрат обе части равенства) выразить необходимую численность выборки:

для средней количественного признака

 

; (5.20)

 

для доли

 

. (5.21)

 

Точно также из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора находим что

 

(для средней); (5.22)

 

(для доли). (5.23)

 

Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки.

Для расчета объема выборки нужно знать дисперсию. Она может быть заимствована из прошлых обследований данной или аналогичной совокупности.