ВВЕДЕНИЕ 5 страница. ?МА 7. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В. ?МА 7. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В

, ,

 

где = 15 (N + G) В; = 25 N В;

 

= (200 + (-1)^N 2 N) В;

 

Рис. 6.4 = 0, 2 G рад.

 

Найдите комплексную амплитуду суммарного напряжения . Представьте суммарное напряжение в форме тригонометрической функции времени, приняв рад/с. Определите мгновенное значение суммарного напряжения в момент времени мкс. Занесите значение в вольтах для проверки в АКОС.

6.4. (2 балла). Комплексная амплитуда напряжения между выводами некоторого участка цепи (рис.6.5) в алгебраической форме определяется равенством

где = (50 - N) G В;

= (30 G + 5 N) В.

Комплексная амплитуда протекающего через цепь тока под действием напряжения в показатель- Рис.6.5

показательной форме равна

где = (15 + N) А, = (-0, 3 - (-1)^N+G 0, 05 N) рад.

Перейдите от комплексных амплитуд напряжения и тока к временным функциям и при рад/с.

Вычислите мгновенную мощность протекающего через тока по формуле в момент времени t = 0, 1 G мс. Внесите величину в ваттах для проверки в АКОС.

6.5. (2 балла). При условиях предыдущей задачи представьте напряжение и ток в виде двух векторов на комплексной плоскости. Определите угол (разность фаз) между векторами напряжения и тока

,

где и - начальные фазы напряжения и тока, соответст-

венно. Внесите величину в градусах в АКОС для проверки.

6.6. (2 балла). Комплексное сопротивление элемента, участка или целой цепи определяется отношением комплексных амплитуд напряжения и тока:

.

Определите комплексное сопротивление цепи при следующих данных:

,

где = (500 + N G) В, = N G ⁰,

= G А, = (5 + (-1)^N+G 0, 1 N) А.

Найдите модуль комплексной величины в омах и внесите его для проверки в АКОС.

 

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

 

6.1 Гармоническое колебание представлялось выше в виде вращающегося в положительном направлении (против часовой стрелки) вектора длиной с угловой скоростью .

Применяется другая модель гармонического колебания в виде д в у х векторов длиной , вращающихся в противоположных направлениях с той же угловой скоростью (рис.6.6). Суммарный вектор не вращается с течением времени, а только изменяет свою длину в

Рис. 6.6 положительной или отрицатель-

ной области вертикальной оси.

Уравнение процесса (длины суммарного вектора) имеет вид

Покажите, что

,

т.е. что модель действительно представляет гармоническое колебание. Чем отличаются представления гармонического колебания в рассматриваемых моделях?

6.2 Постройте векторную диаграмму, соответствующую комплексному выражению

.

Найдите модуль и аргумент (начальную фазу) колебания, представляемого результирующей комплексной амплитудой .

 

 

ТЕМА 7. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В

КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Чему равны комплексные сопротивления и проводимости элементов R, L и C (рис.7.1)?

Рис.7.1

 

2. Чему равно комплексное сопротивление последовательного соединения элементов R, L и C (рис.7.2)?

 

Рис.7.2

 

3. Запишите выражения для модуля и аргумента комплексного сопротивления цепи на рис.7.2.

4. Определите комплексную проводимость параллель-ного соединения элементов R, L

Рис. 7.3 и C (рис.7.3).

 

5. В какую сторону отклонится и какое положение займет вектор тока на рис.7.4 по отношению к вектору на-

пряжения при различных значениях комплексного сопротивления двухполюсника:

 

а) Z = 3+ j0 Ом;

б) Z = Ом;

в) Z = 0 - j4 Ом;

г) Z= 3 + j4 Ом?

 

Какого рода сопротивление (активное, емкостное, индуктивное, смешанное) Рис.7.4

скрывается за указанными

значениями сопротивления?

6. Чему равно отношение показаний вольтметра и амперметра в схеме рис.7.5 для сопротивлений Z из предыдущего вопроса? Чем определяется это отношение при данном Z?

7. Каким выражением определяется ток через индуктивность L Рис.7.5

(рис.7.6) на частоте при комплексной амплитуде напряжения на ней

.

 

8. Как записываются законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений? Рис.7.6

9. Сколько уравнений для токов и

напряжений ветвей необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа в цепи рис.7.7?

10. Запишите все возможные уравнения для токов ветвей по первому закону Кирхгофа в схеме рис.7.7. Какие из них должны быть использованы при расчетах?

 

Рис.7.7

 

11. Составьте все возможные уравнения для напряжений ветвей по второму закону Кирхгофа в цепи рис.7.7. Все ли они будут использованы при расчетах? Составьте необходимую систему уравнений.

 

ЗАДАЧИ

 

7.1. (2 балла) Найдите комплексное сопротивление ветви электрической цепи (рис.7.8) в виде трех последовательно соединенных элементов R, L и C при

L= мГн,

R= (60 + N + G) Ом,

C= (600 – (-1)^N+G N G) нФ,

при частоте протекающего через ветвь

тока f= 10³ Гц. Найдите модуль и аргумент комплексного сопротивления цепи. Определите комплексную амплитуду тока , ее модуль и аргумент при напряжении на ветви с амплитудой = (G + 2) В, и начальной фазой =0.

Рис.7.8 Вычислите для проверки величии-

ну (миллиампер умножить на градус) и внесите ее в АКОС с противоположным знаком, если сопротивление имеет емкостной характер или без изменения знака при его индуктивном или чисто активном характере.

7.2. (2 балла). Определите комплексную проводимость параллельного соединения элементов R, L и C (рис.7.9) при следующих данных:

R=(200 + (-1)^N+G 2(N +G)) Ом,

L = (200 - (N + G²)) мкГн,

C = 500 sin((20 + N + G)⁰) нФ.

Найдите модуль и аргумент полной проводимости цепи . Определите комплексную амплитуду напряжения на соединении в Рис.7.9

вольтах при известной комп-

лексной амплитуде общего тока , равной

А, рад/с.

Определите реактивную (мнимую) составляющую этого напряжения в вольтах и внесите ее в АКОС для проверки.

7.3. (2 балла). С какой амплитудой и начальной фазой должен быть установлен источник тока в цепи (рис.7.10) для того, чтобы амплитуда напряжения на емкости была равна = (200 + (-1)^N 0, 2 N G) В при начальной фазе =0 и значениях

R= (200 + N G) Ом,

= (600 – NG)Ом?

Вычислите и внесите в АКОС для проверки величину, равную миллиампер.

Рис.7.10

7.4. (2 балла). Установив ключи в схеме (рис.7.11) в положения, соответствующие Вашему номеру N в двоичной записи, (N₂). Нарисуйте полученную схему без ключей и не вошедших в нее элементов. Составьте применительно к ней уравнение баланса напряжений (второй закон Кирхгофа) в комплексном виде. Найдите комплексную амплитуду ЭДС, необходимую для баланса, при следующих исходных данных цепи:

 

R₁= 100 Ом, R₂= 170 Ом, R₃=230 Ом, =90 Ом, =180 Ом, =120 Ом,

=130 Ом,

Рис.7.11 =160 Ом,

 

= 0, 1 (G - (-1)^G ) (45 - N) exp(jπ /2) А,

= (150 – 3 N) exp[j(-1)^G 60⁰] В,

= = (300 - (-1)^N 5 N) exp[j(120 - 20 G)⁰] В.

Амплитуду ЭДС в вольтах введите в АКОС.

7.5. (2 балла). На рис.7.12 изображен узел некоторой электрической цепи с заданными направлениями токов Установите переключатели К₁ – К₅ в положения, соответствующие номеру Вашего варианта N в двоичной форме (подобно тому, как это делалось в предыдущей задаче).Перерисуйте схему.

Составьте уравнение балланса токов в узле (первый закон Кирхгофа) применительно к комплексным амплитудам:

А, А,

А, А.

 

Рис.7.12

 

Определите из уравнений неизвестный ток и введите его амплитуду в миллиамперах в АКОС для проверки.

7.6. (2 балла). Какую следует выбрать индуктивность L на рис.7.13, чтобы отключение или подключение ее последовательно емкости C посредством ключа K не сказывалось на амплитуде тока . Внесите величину L в микрогенри в АКОС.

 

Рис. 7.13

Емкость конденсатора примите равной

 

C= (600 + (-1)^N+G 5 (N +4 G) нФ,

 

а частоту источника рад/с.

 

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

 

7.1 В левой части цепи рис.7.14 между точками и действуют три источника ЭДС, включен-ных последовательно, по кругу, а справа - один. Как видно, " силы не равны". Определите показания вольтметра между точками и .

 

Рис.7.14

 

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

 

84
ТЕМА 8. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие преобразования называются эквивалентными? Сформулируйте условия, которые должны быть выполнены при замене одного участка цепи другим, эквивалентным первому.

2. Каким путем можно преобразовать параллельно включенных сопротивлений (рис.8.1) в одно эквивалентное по величине сопротивле-

ние. Рис.8.1

 

3. Посредством каких вычислений можно перейти от пары параллельно соединенных сопротивлений и (рис.8.12, а) к двум эквивалентным последовательно соединенным сопротивлениям и (рис.8.2) так, чтобы были равны полные комплексные сопротивления ? Рис. 8.2

По каким

формулам определяются и ? Каков характер сопротивления (индуктивный, емкостный)?

4. Каким образом производится эквивалентный переход от пары последовательно соединенных сопротивлений и к параллельному соединению сопротивлений и (рис.8.3)?

Рис.8.3

 

5. Каковы амплитуда тока и внутреннее сопротивление эквивалентного источника тока (рис. 8.4б), необходимые для обеспечения того же тока через нагрузку , что и от источника напряжения (рис.8.4а).

 

Рис.8.4

 

6. В чем заключается принцип (метод) наложения (суперпозиции), используемый для определения токов и напряжений в цепях с двумя или несколькими источниками? Примените его к простейшей цепи, показанной на рис.8.5, и определите ток через сопротивление при заданных параметрах эле-

Рис. 8.5 ментов цепи.

 

 

7. Сформулируйте теорему компенсации. Какими параметрами должен обладать источник ЭДС на рис.8.6, б, чтобы при включении его в цепь вместо элемента (рис.8.16, а) напряжения и токи в ветвях остались прежними? Можно ли вместо компенсирующего источника ЭДС включить источник тока?

 

 

Рис.8.6

 

8. O чем говорит теорема Тевенена? Какими данными (, , , ) должны обладать эквивалентные источники напряжения или тока (рис.8.7) для того, чтобы их можно было подключить к нагрузке вместо активного двухполюсника АД при условии сохранения тока через нагрузку.

 

Рис.8.7.

 

Можно ли определить параметры эквивалентных по

теореме Тевенена генераторов напряжения и тока, воспользовавшись данными внешних (по отношению к АД) измерений, выполненных в соответствии со схемами рис.8.8 без

Рис 8.8 " вскрытия" схемы АД

(через А обозначен измеритель тока, а через V - напряжения)?

9. Какими данными (, ) должен обладать эквивалентный в смысле теоремы Тевенена источник напряжения (рис.8.9, б), чтобы он " вел себя" по отношению к нагрузке также, как и активный двухполюсник АД, схема которого изображена в рамке на рис.8.9, а?

 

Рис.8.9

 

10. Каким образом можно преобразовать два параллельно соединенных источника тока и (рис.8.10, а) с внутренними сопротивлениями и в один эквивалентный источник тока (рис.8.10, б) или напряжения (рис.8.10, в)?

11. Преобразуйте два параллельно соединенных источника напряжения и со своими внутренними сопротивлениями и (рис.8.11, а) в один эквивалентный источник напряжения с сопротивлением (рис.8.11, б).

Рис.8.10

 

Рис.8.11

 

12. Какое преобразование можно применить для вычисления сопротивления между вершинами мостиковой схемы на рис.8.12? Изобразите схему в преобразованном виде и запишите выражение для .

 

 

Рис.8.12

 

ЗАДАЧИ

 

8.1. (2 балла). Преобразуйте последовательное соединение активного R и реактивного C элементов (для четных N) или R и L (для нечетных N) с комплексным сопротивлением в эквивалентное параллельное соединение аналогичных

элементов R_Э и C_Э или R_Э и L_Э с комплексным сопротивлением Z_Э так, чтобы выполнялось условие Z_Э=Z (рис.8.13а - для студентов с четными номерами N, рис.8.13б - с нечетными N).

 

Рис. 8.13

 

Примите:

R = (500 + (-1)^G G N) Ом, C = (500 + (-1)^N 6 (N + G)) нФ,

L = 100 cos((N + G)⁰) мГн, ω = 10⁴ рад/с.

Вычислите и внесите в АКОС для проверки:

R_Э, Ом - для студентов с четными и нечетными номерами при N≤ 13;

C_Э, нанофарад - для студентов с четными номерами при N> 13;

L_Э, миллигенри - для студентов с нечетными номерами при N> 13.

8.2. (2 балла). Преобразуйте параллельное соединение активного и реактивного элементов R и L (рис.8.14, а) для студентов с четными N или R и C (рис.8.14, б) для студентов с нечетными N с комплексной проводимостью Y в последовательное соединение аналогичных элементов так, чтобы комплексная проводимость последовательного соединения Y_Э была равна исходной проводимости Y. Данные возьмите из задачи 8.1.

 

Рис.8.14