ВВЕДЕНИЕ 9 страница

 

ЗАДАЧИ

 

21.1 (1 балл). Составьте дифференциальные уравнения для тока i(t) или напряжения на конденсаторе u_C(t) в выделенных жирными линиями колебательных контурах (рис.21.1 или рис. 21.2). Определите при нижеследующих данных:

L = (100 + (-1)^N× 2 N + 8 G) мГн,

C = (6000 - (-1) ^N× 50 N + 100 G) пФ,

R = (7800 + 50 N - 18 G) Ом,

какого рода процесс протекает в свободном от источников

 

контуре путем анализа корней его характеристического уравнения. В зависимости от процесса примите следующие значения индекса J:

апериодический - J=12,

критический - J=1,

колебательный - J=-5.

 

Изобразите в тетради качественно (без вычислений), какой вид имеет функция i(t) или u_C(t) при заданных значениях L, C и R.

Обратитесь к схемам:

- рис.21.1 - для студентов с четными значениями N,

- рис.21.2 - для студентов с нечетными значениями N.

Определите, исходя из законов коммутации, начальные условия u_C(0) в вольтах и i_L(0) в амперах для своей цепи при

 

Е = (400 + (-1) ^N× 5 N + 10 G) B,

R₁ = 10 + N Ом, R₂ = 50 - G Ом.

 

Вычислите с проверочной целью величину

 

B=J [u_C(0)+i_L(0)]

 

и внесите ее в АКОС.

Рис.21.1

Рис.21.2

 

21.2 (2 балла). Примите для цепи рис.21.1 значение сопротивления потерь равным R = (12 + 2 N + (-1) ^N× G) Ом при L и C, заданных в задаче 21.1. Какого рода процесс (апериодический, колебательный) будет наблюдаться в контуре (рис.21.1) после замыкания ключа К?

Напишите выражение для тока в контуре в рассматриваемом случае, подставьте в него все необходимые численные данные, исходя из заданных Вам параметров контура и ЭДС источника Е (задача 21.1). Рассчитайте и постройте по точкам кривую i(t).

Определите значение тока i(t₁) в амперах в момент времени t = (100 + (-1) ^N× 2 N+2 G) мкс и внесите величину i(t₁)× 10⁴ в АКОС для проверки.

Нанесите значения корней характеристических уравнений, полученных Вами в задачах 21.1 и 21.2, в виде точек на комплексную плоскость (рис.21.3). В какой полуплоскости и на каких полуосях расположились точки? Свяжите их расположение с характером протекающих в цепи свободных процессов.

21.3. (2 балла). Рассчитайте и постройте в масштабе кривую изменения напряжения на емкости u_C(t) контура (рис.21.1) по приближенной формуле

U(t)=U_C0e^-at cos(w₀t),

справедливой для контуров с пренебрежимо малым значением коэффициента затухания a по сравнению с резонансной частотой контура w₀. Для исходных данных из предыдущих задач определите:

а) период затухающих свободных колебаний в контуре T = 2p/w₀ секунд;

б) постоянную времени затухания амплитуды колебаний t= 1/a с размерностью единица, деленная на секунду;

в) логарифмический декремент затухания колебательного процесса q.

Вычислите величину, равную D = (q× t× T_C) 10¹⁰ и внесите ее в АКОС для проверки.

21.4. (2 балла). Найдите, какое число n полных колебаний напряжения на конденсаторе совершается в колебательном контуре (рис.21.1) при данных L и C из задачи 21.1 и R из задачи 21.2 от начала процесса до его практически полного затухания, когда амплитуда напряжения упадет не менее чем в 10× G× N раз. Ответьте на вопрос – число n с повышением добротности контура Q:

- увеличивается (J=1),

- уменьшается (J=-1)?

Вычислите величину, равную H = J× n и внесите ее для проверки в АКОС.

21.5. (2 балла). Вычислите и постройте кривую изменения напряжения на конденсаторе u_C(t) при включении источника ЭДС Е в контур (рис.21.4) посредством ключа К. Определите, какого уровня достигает напряжение на конденсаторе в максимуме и в какой момент времени это имеет место. Найдите произведение G = u() (вольт умножить на миллисекунду) и внесите его в АКОС. Примите при вычислениях:

W =(10 + (-1)^N × G + 5 N) крад/с,

a= (120 - (-1) ^N × 2 N) 1/с,

E =(1500 + (-1) ^N × 20 N + 10 G) В.

 

Объясните физически, за счет чего образуется выброс напряжения на конденсаторе, существенно превышающий напряжение источника Е.

21.6. (2 балла). Какой вид имеет напряжение на конденсаторе U_С(t) при включении в нулевой момент времени гармонической ЭДС e(t)=E_mcos(wt) в контур рис.21.5 (w совпадает с резонансной частотой контура). Напишите выражение и изобразите графически огибающую процесса нарастания амплитуды напряжения на емкости в виде функции времени при следующих данных:

 

Q = (120 + (-1)^N× N + 2 G),

w = (500 + 10 N G + (-1)^N× 250) рад/с.

 

Рис.21.4 Рис. 21.5

 

Определите время t, по истечении которого амплитуда достигнет половины установившегося значения и внесите его в микросекундах в АКОС.

 

Тема 22 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

22.1. Запишите прямое и обратное преобразование Лапласа.

22.2. Как с помощью таблиц проводится преобразование Лапласа? В каком виде должно быть представлено изображение? Приведите примеры.

22.3. Сформулируйте законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Какими методами можно составить полную систему операторных уравнений? Приведите примеры для цепи, показанной на рис. 20.1а.

22.4. Как учитываются ненулевые начальные условия для индуктивности и емкости? Сформируйте эквивалентную схему замещения для цепи на рис. 20.1б. Запишите для нее полную систему операторных уравнений.

22.5. Как полином представляется в виде произведения простых сомножителей? Каким образом отношение двух полиномов представляется в виде суммы простых дробей?

22.6. Как связаны между собой операторный и комплексный коэффициенты передачи четырехполюсника?

 

ЗАДАЧИ

 

22.1 (3 балла) В цепи рис.22.1 при разомкнутом ключе К определите операторное выражение требуемой характеристики: входного сопротивления Z(p) при четных N или входной проводимости Y(p) при нечетных N.

Для расчетов примите:

R­₁= (2 + (-1)^N× G/10) кОм, R₂= (2 + N/10) кОм,

R₃= (5 - N/10) кОм, R₄= (1, 5 - (-1) ^N× G/15) кОм,

R₅(3 + (-1) ^N× N/20) кОм, R_H= 3 кОм,

C= (60 + 2 N) нФ, L = (1, 5 G) Гн.

Рис.22.1

 

Представьте полученное операторное выражение F(p) в виде

 

Значения параметра А в омах при четных N или в микросименсах при нечетных N введите в АКОС для проверки.

22.2 (3 балла) В условиях задачи 22.1 при замкнутом ключе К определите коэффициент передачи цепи по напряжению K_u(p)=U₂(p)/U₁(p) для четных N или коэффициент передачи цепи по току K_i(p)=I₂(p)/I₁(p) для нечетных N. Представьте полученное выражение в форме, указанной в задаче 22.1. Вычислите значения 1000A и 1000 (a₀/b₀) и внесите их в АКОС.

22.3 (2 балла) На вход цепи рис.22.1 с параметрами из задачи 22.1 при замкнутом ключе К в момент времени t=0 подключается идеальный источник напряжения с ЭДС Е₀=(G+10) В для четных N или идеальный источник тока с током I₀ = (G+5) мА для нечетных N.

Операторным методом определите зависимость от времени выходного напряжения U₂(t) для четных N или тока I₂(t) для нечетных N. Значение U₂(t) в милливольтах или I₂(t) в микроамперах при t = (200 + (-1) ^N× 4 N) мкс введите для проверки в АКОС.

 

Справка:

- функция Дирака.

 

Задача 22.4 (2 балла) Определите переходную характеристику h(t) цепи рис.22.1 при отключенной нагрузке Rн для четных N или подключенной нагрузке для нечетных N. Значение 10000 h(t) при t из задачи 22.3 занесите в АКОС.

Задача 22.5 (2 балла) Определите импульсную характеристику g(t) цепи рис.22.1 при подключенной нагрузке R_н для четных N или отключенной нагрузке для нечетных N. Значение g(t) при размерности единица, деленная на секунду, в момент времени t из задачи 22.3 введите в АКОС.

 

 

Тема 23 РАСЧЕТ РЕАКЦИИ ЦЕПИ НА СЛОЖНЫЙ

ВХОДНОЙ СИГНАЛ МЕТОДОМ

ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

23.1. Запишите интеграл Дюамеля. Как с его помощью определяется реакция цепи на сложное входное воздействие?

23.2. Дайте определение переходной и импульсной характеристик. Каков их физический смысл?

23.3. Как связаны между собой переходная и импульсная характеристики цепи? Как они связаны с операторным коэффициентом передачи?

23.4. Как определяются переходная и импульсная характеристики цепи операторным методом? Приведите пример.

 

ЗАДАЧИ

 

23.1 (4 балла) Методом интеграла Дюамеля для цепи рис.22.1 (рассматривавшейся в предыдущей теме 22) при разомкнутом ключе К для четных N и замкнутом - для нечетных N определите переходную h(t) и импульсную g(t) характеристики, а также реакцию U_вых(t) на входной сигнал U_вх(t) вида:

 

 

где U_max=30 + (-1)^N× N/2 В, a = 10⁴× (12 + G) 1/с.

Постройте графики зависмостей h(t), g(t) и U_вых(t) в интервале времени от нуля до 100 мкс, проанализируйте их с физической точки зрения. Вычислите безразмерную величину 1000 h(t=0) и введите ее в АКОС-1. Определите выходное напряжение U_вых(t) в милливольтах при t = (50 - N/2) мкс и внесите его для проверки в АКОС.

23.2 (1 балл) Определите, имеется ли скачкообразное изменение выходного сигнала U_вых(t) в момент времени t=0.

Объясните причину возникновения скачка и выберите индекс ответа J₁:

а) из-за того, что переходная характеристика скачкообразно изменяется при t=0 - J₁=1;

б) из-за того, что переходная характеристика стремится к конечному пределу при увеличении t - J₁=2;

в) из-за того, что импульсная характеристика отрицательна при положительных t - J₁=3.

Вычислите произведение J₁× Uвых(t=0) в милливольтах и введите его в АКОС.

23.3 (2 балла) Определите значение параметра затухания (a) входного сигнала, при котором форма выходного сигнала U_вых(t) с точностью до постоянного множителя совпадает с формой входного сигнала U_вх(t).

Объясните причину, по которой форма переходного процесса на выходе цепи может совпадать с формой входного воздействия, и выберите индекс ответа J₂:

а) в цепи отсутствует свободная составляющая переходного процесса - J₂=1;

б) в цепи отсутствует принужденная составляющая переходного процесса - J₂=2;

в) форма свободной составляющей переходного процесса совпадает с формой принужденной составляющей - J₂=3.

Значение (J₂× a) с размерностью единица, деленная на секунду, введите в АКОС.

Задача 23.4 (5 баллов) На вход цепи рис.22.1 поступает импульсный сигнал, показанный на рис.23.1,

 

 

Рис.23.1

 

Примите T = (60 + (-1)^N× N) мкс, а значения U_max, параметров цепи и положение ключа К возьмите из задачи 23.1.

Методом интеграла Дюамеля определите выходной сигнал U_вых(t). Вычислите два значения выходного сигнала U_вых и Uвых в милливольтах в моменты времени t₁ = T/2 и t₂ = 1, 2 T соответственно, и введите их в АКОС-1 для проверки.