Для каких действительных значений уравнение имеет только положительные (только отрицательные) действительные корни?11) ; 12) . 13) При каких корни уравнения будут неотрицательными (неположительными) действительными числами? 14) Для каких один из действительных корней уравнения равен удвоенному действительному корню уравнения ? 15) Для каких действительных чисел действительные корни уравнения лежат между действительными корнями уравнения ? 2) Во второй части задания приведены задачи по стереометрии. Пример 2. Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна , а угол его осевого сечения равен . Найти расстояние от вершины конуса до плоскости окружности, по которой сфера пересекает конус. Указать возможные значения для . Решение. На последний вопрос, как видно из чертежа, ответ достаточно прост: необходимо, чтобы , откуда вытекает ограничение на величину угола : .
Вычислим радиус сферы: . Так как - равнобедренный, то , поэтому . Следовательно, , и искомое расстояние . # Решить задачи: 16) Высота конуса в 4 раза больше радиуса шара, вписанного в этот конус. Образующая конуса равна . Найти боковую поверхность конуса. 17) Отношение боковой поверхности усеченного конуса, описанного около шара, к сумме площадей его оснований равно . Найти угол между образующей и плоскостью основания и допустимые значения . 18) Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Длина образующей конуса равна , а угол его осевого сечения равен . Найти радиус окружности, по которой сфера пересекает конус. Указать возможные значения для . 26 задание 1) Первая часть задания предполагает решение уравнений с двумя неизвестными. Пример 1. Решить уравнение: . Решение. Заметим, что , ибо в противном случае, получаем уравнение , которое не имеет решений, так , а . Это замечание позволяет преобразовать заданное уравнение: Найдем наибольшее значение функции на отрезке - области определения этой функции. Имеем: , поэтому в точке . Знаки производной показывают, что имеет в точке локальный максимум. Следовательно, . Найдем теперь наименьшее значение функции на промежутке , где . Имеем: , поэтому . Условию удовлетворяет только корень . Знаки производной показывают, что имеет в этой точке локальный минимум. Следовательно, . Таким образом, для всех допустимых значений и имеем: , откуда следует, что решение исходного уравнения возможно лишь в одном случае: # Решить уравнения: 1) ; 2) ; 3) . 2) Во второй части задания предлагается решение задач, связанных с уравнениями и системами уравнений с параметрами. Пример 2. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Решение. Имеем:
Так как функция является строго возрастающей, т.е. биективной, а уравнение имеет корни , то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда , т.е. , и для меньшего корня выполняется система неравенств: Таким образом, получаем ответ: . # При каких значениях уравнение имеет единственное решение? 4) ; 5) ; 6) . Для каких действительных чисел уравнение имеет 2 действительных решения? 7) ; 8) ; 9) . Для каждого действительного числа решить систему уравнений: 10) 11) 12) 13) 14) 15) Для каких действительных чисел система имеет два действительных решения? 16) 17) 18) 19) 27 задание 1) В первой части задания приведены задачи на количество корней заданного уравнения с параметром. Пример 1. Для каких действительных чисел уравнение имеет 0, 1, 2, 3 или 4 действительных решений? Решение. Перепишем уравнение в виде совокупности двух систем: Пусть - дискриминант верхнего уравнения в совокупности двух систем, а и - его корни, и - дискриминант нижнего уравнения, а и - его корни. Рассмотрим теперь случаи, когда верхняя система в совокупности (а затем и нижняя) имеет 0, 1 и 2 решения. 1) Первая система имеет 0 решений, т.е. не имеет решений: 2) Первая система имеет 1 решение: 3) Первая система имеет 2 решения:
4) Вторая система имеет 0 решений: 5) Вторая система имеет 1 решение: 6) Вторая система имеет 2 решения: Теперь уже легко ответить на поставленные в условии задачи вопросы. А) Заданное уравнение имеет 0 решений, когда первая и вторая системы имеют по 0 решений: Б) Заданное уравнение имеет 1 решение, когда первая система имеет 1 решение, а вторая система имеет 0 решений, и наоборот: В) Заданное уравнение имеет 2 решения, когда первая и вторая системы имеют по 1 решению, или первая система имеет 2 решения, а вторая система имеет 0 решений, и наоборот: . Г) Заданное уравнение имеет 3 решения, когда первая система имеет 2 решения, а вторая система имеет 1 решение, и наоборот: . Д) Заданное уравнение имеет 4 решения, когда первая и вторая системы имеют по 2 решения: . # Для каких действительных чисел уравнение имеет 0, 1, 2, 3, 4 решения? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Для каких действительных чисел уравнение имеет на отрезке ровно корней? 6) , , ; 7) , , . 2) Во второй части задания приведены задачи на расположение корней двух уравнений с одинаковым параметром. Найти все , при которых уравнения имеют по два различных действительных корня и между корнями одного уравнения содержится ровно один корень другого уравнения: 8) и ; 9) и . Найти все , при которых уравнения имеют по два различных действительных корня и между корнями одного из уравнений нет ни одного корня другого уравнения: 10) и ; 11) и . 12) Для каких действительных чисел всякое решение неравенства больше любого решения неравенства ? 13) Найти все действительные числа , при каждом из которых любое решение неравенства является решением неравенства . 28 задание Данное задание содержит задачи на неравенства с параметрами. Пример 1. Для каждого действительного числа решить неравенство: . Решение. Найдем сначала область определения неравенства: . Далее, учитывая, что корни уравнения - это , имеем: Для каждого действительного числа решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) . 29 задание 1) В первой части задания содержатся различные задачи на неравенства с параметрами. Пример 1. Найти все действительные числа , при каждом из которых неравенство выполняется для всех действительных чисел . Решение. Преобразуем заданное неравенство: и положим . Теперь исходная задача будет выглядеть следующим образом: найти все действительные числа , при каждом из которых неравенство выполняется для всех . Вычислим корни уравнения : . Задача сводится теперь к выполнению включения: , где и , т.е. к решению следующей системы неравенств: Решим по отдельности каждое из неравенств системы:
Таким образом, окончательно получаем: Для каких действительных чисел (целых чисел ) неравенство верно для всех чисел : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Найти все действительные числа , при каждом из которых для всех выполняется неравенство: 8) , ; 9) , ; 10) , ; 11) , . 12) Найти все действительные числа , при каждом из которых любое решение неравенства является решением неравенства . 13) Найти все числа , при каждом из которых любое действительное число является решением хотя бы одного из неравенств: и . 2) Во второй части задания содержатся задачи на сечения кубов и призм плоскостями. Пример 2. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через вершины , и точку , расположенную на ребре так, что ? Найдите площадь и периметр полученного сечения (длина ребра куба равна ), а также расстояние от точки до секущей плоскости и угол между плоскостью нижнего основания и секущей плоскостью. Решение. Пусть - точка пересечения продолжения ребра с прямой .
Искомое сечение – это равнобедренная трапеция , образованная отсечением от равнобедренного его вершины отрезком , параллельным . Перейдем к необходимым вычислениям. Так как , то , откуда . Следовательно, , и . Поскольку , то , и . Отсюда находим периметр сечения: . Далее заметим, что является высотой ( и ), поэтому . Теперь легко найти площадь сечения: . Далее вычислим объем пирамиды : . С другой стороны, если - перпендикуляр, опущенный из вершины куба на плоскость , то , поэтому можно найти расстояние от вершины до секущей плоскости: . Теперь найдем объем передней части куба : и объем задней части куба: , откуда получаем отношение объмов двух частей, на которые делится куб секущей плоскостью: . Наконец, поскольку - это линейный угол двухгранного угла, образованного плоскостью нижнего основания куба и секущей плоскостью, а , то находим угол между плоскостью нижнего основания и секущей плоскостью: . # Решить задачи: 14) Дан куб с ребром, равным дм. На продолжении ребра за точку взята точка так, что дм. Через точку и середины ребер и проведена плоскость. Найдите периметр и площадь полученного сечения, а также расстояние от точки до секущей плоскости и угол между плоскостью верхнего основания и этой плоскостью. В каком отношении делит объем куба секущая плоскость? 15) В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через вершину и середины ребер и ? Найдите площадь и периметр полученного сечения (длина ребра куба равна ), а также расстояние от точки до секущей плоскости и угол между плоскостью верхнего основания и этой плоскостью. 16) В каком отношении делит объем правильной треугольной призмы плоскость, проходящая через вершину и середины ребер и ? Найдите площадь и периметр сечения, если длины всех ребер призмы равны , а также расстояние от точки до секущей плоскости и угол между плоскостью нижнего основания и этой плоскостью. 17) Основание прямой призмы - равносторонний треугольник со стороной дм. На продолжении ребра за точку взята точка так, что дм. Через точку и середины ребер и проведена плоскость. Найдите периметр и площадь полученного сечения, если дм, а также расстояние от точки до секущей плоскости и угол между плоскостью нижнего основания и этой плоскостью. В каком отношении делит объем призмы секущая плоскость? 18) В прямоугольном параллелепипеде с ребрами см и см через вершины , и точку , лежащую на ребре , проведена плоскость. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью?
30 задание 1) В первой части задания содержатся различные задачи с параметрами. Пример 1. Найти все числа , для каждого из которых система имеет действительные решения. Решение. Если , то и неравенство системы предстает в виде . Оно, а значит и сама система, действительных решений не имеет. Следовательно, . Тогда и неравенство можно переписать в виде: . Далее рассмотрим два случая. 1) Пусть . Тогда . Найдем корни уравнения : . Решением неравенства будет интервал при условии, что дискриминант . По условию задачи этот интервал должен содержать хотя бы одну точку . Так как , то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда 2) Пусть . Тогда . Решением неравенства будет интервал при условии, что дискриминант . Так как , то условие задачи будет выполнено в том и только том случае, когда где - корни уравнения . # Замечание. Геометрический смысл задачи состоит в нахождении тех параметров , при которых парабола пересекает внутренность окружности :
Пример 2. Найти множество всех пар действительных чисел, для каждой из которых равенство верно для всех положительных чисел . Решение. Подставим в равенство три значения: , и . Получим, соответственно, три равенства: Составим систему уравнений относительно неизвестных и , возведя в квадрат первое равенство и перемножив второе и третье: Итак, для того чтобы равенство выполнялось для значений , и , необходимо, чтобы и . Осталось лишь убедиться, что при этих значениях параметров и заданное равенство будет выполнено для всех . Это действительно так, поскольку при и исходное равенство является тождеством: . # Найти все числа , для каждого из которых система имеет действительные решения: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Найти множество всех пар действительных чисел, для каждой из которых при всех верно равенство: 8) ; 9) ; 10) . Доказать, что для всех действительных чисел и верно неравенство: 11) ; 12) ; 13) . 2) Во второй части задания содержатся задачи на пирамиды. Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной все ребра равны . Через вершину и середины ребер и проведена плоскость. Найдите площадь и периметр сечения, отношение объемов рассекаемых плоскостью частей пирамиды, расстояние от вершины до секущей плоскости, а также угол между плоскостью основания и секущей плоскостью. Решение. Пусть и середины ребер и ⇐ Предыдущая123
|