ТЕМА № 2. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

Высказывание. Простые и составные высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Таблицы истинности. Способы построения отрицания высказываний.

Литература: [1] с. 5-23; [2] с. 29-38; [3] с. 5-15; [4] с. 5-11; [5] с. 33-46; [6] с. 37-42; [7] с. 57-71.

 

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания 1 уровня)

 

1А. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Для высказываний определите их значения истинности:

а) число 25 делится на 5;

б) 23+7;

в) 3> 7;

г) Минск – столица Беларуси;

д) все числа делятся на 8.

 

1Б. Постройте отрицание высказывания Р и определите его значение истинности:

а) Р: «Число 105 делится на 3»;

б) Р: «Число 23 не делится без остатка на 3»;

в) Р: «В прямоугольнике все углы прямые»;

г) Р: «Квадрат является ромбом».

 

2А. Какие из следующих предложений определяют высказывания? Определите их значения истинности:

а) существуют хÎ R, что х+2< 5; б) сегодня хорошая погода;

в) ты любишь математику?; г) существуют простые числа.

 

2Б. Сформулируйте отрицания высказываний, встречающихся в начальной школе:

а) Алеша моложе Тани; б) масса кролика меньше массы гуся;

в) тетрадь дороже карандаша; г) красный отрезок длинней синего.

 

3А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) число 2 – простое;

б) слово «делится» является глаголом;

в) в каком году родился А.С. Пушкин?

г) лось является парнокопытным животным.

 

3Б. Найдите значения истинности высказываний А и В и объясните, почему они не являются отрицаниями друг друга:

а) А: «Слово «сад» – прилагательное»,

В: «Слово «сад» – наречие»;

б) А: «Все треугольники являются равнобедренными»,

В: «Все треугольники не являются равнобедренными»;

в) А: «Некоторые слова могут быть разделены на слоги»,

В: «Некоторые слова не могут быть разделены на слоги».

 

4А. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Для высказываний определите их значения истинности:

а) на 0 делить нельзя; б) пусть всегда будет солнце!

в) 11–2=9; г) существуют хÎ R, что х+3≥ 52.

 

4Б. Выясните какие из высказываний каждой пары являются отрицаниями друг друга:

а) А: «В книге 100 страниц», В: «В книге не более 100 страниц»;

б) А: «Эта гвоздика красная», В: «Эта гвоздика розовая»;

в) А: «Эта гвоздика красная», В: «Эта гвоздика не красная»;

г) А: «Данное слово − существительное»,

В: «Данное слово − прилагательное».

 

5А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) число а делится на 5;

б) существуют четные простые числа;

в) берегите мир!

г) некоторые высказывания не являются истинными.

 

5Б. Найдите значения истинности высказываний М и К и объясните, почему они не являются отрицаниями друг друга:

а) М: «Все студенты – отличники»,

N: «Все студенты – не отличники»;

б) М: «Некоторые числа записываются с помощью цифр»,

N: «Некоторые числа не записываются с помощью цифр»;

в) М: «25 – отрицательное число»,

N: «25 – четное число».

 

0А. Среди данных предложений укажите высказывания. Определите их значения истинности:

а) брусника – растение, характерное для хвойного леса;

Решение: Это высказывание. Оно истинно, т.к. брусника является растением, характерным для хвойного леса.

б) некоторые высказывания являются ложными;

Решение: Это высказывание истинно, т.к. нам известно, что существуют истинные высказывания и существуют ложные.

в) 25+х≤ 7;

Решение: Это предложение не является высказыванием, т.к. нельзя определить его истинность.

0Б. Постройте отрицание высказывания Q и определите его значение истинности:

а) Q: «Существуют инопланетные цивилизации»;

: «Не верно, что существуют инопланетные цивилизации» (ложно).

б) Q: « Сумма внутренних углов треугольника равна 180^о»;

Решение: ` : «Не верно, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º» (ложно).

в) Q: «Число 21 делится на 2»

Решение: : «Не верно, что число 21делится на 2» (истинно).

.

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания II уровня)

 

1А. Дано высказывание А: «0 – целое число». Приведите пример такого высказывания В, чтобы конъюнкция высказываний А и В была: а) истинной, б) ложной; чтобы импликация высказываний А и В была: в) истинной, г) ложной.

 

1Б. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:

а) число 5 – целое или положительное;

б) 16 кратно 2 и кратно 5;

в) если у параллелограмма АВСD все стороны равны, то этот параллелограмм – ромб.

 

2А. Дано высказывание С: «Число 3 больше числа 2 на 1». Можно ли привести пример такого высказывания D, чтобы конъюнкция высказываний С и D была: а) ложной, б) истинной; чтобы импликация высказываний С и D была: в) истинной, г) ложной.

 

2Б. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:

а) слово «группа» - прилагательное или глагол;

б) если число 12 кратно 4, то оно кратно 2;

в) число 7 – натуральное и однозначное.

 

3А. Дано высказывание В: «Число 7 – четное». Приведите пример такого высказывания С, чтобы дизъюнкция высказываний В и С была: а) истинной, б) ложной; чтобы импликация высказываний В и С была: в) истинной, г) ложной.

 

3Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значения истинности:

а) число 17 не делится на 5;

б) всякий равнобедренный треугольник прямоугольный и равносторонний;

в) =2;

г) если число 4² делится на 2, то оно четное.

 

4А. Определите значения истинности высказываний А, В, D, если:

а) А Ù «В слове «стол» 4 звука» ≡ И;

б) «Вода в море пресная» Û В ≡ Л;

в) D Þ «При 0^о вода замерзает» ≡ И.

 

4Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значения истинности:

а) число 13 простое и делится на 2;

б) 12² четное число или нечетное;

в) в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90^о;

г) если сумма цифр числа 75 делится на 3, то число делится на 3».

 

5А. Определите значения истинности высказываний Е, F, G, если:

а) Е Þ «Воздух хорошо проводит тепло» ≡ Л;

б) «Синус любого угла меньше 1» Û F ≡ И;

в) G Ú «Слово «река» – существительное» ≡ Л.

 

5Б. Среди следующих высказываний выделите элементарные и составные высказывания, а также укажите их значение истинности:

а) слово «пальто» не склоняется;

б) если арбуз – бахчевая культура, то Минск – столица Беларуси;

в) гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в

окружность, является ее диаметром;

г) все реки текут.

 

0А. Выясните логическую структуру следующих высказываний и найдите их значение истинности:

а) «Если число 10 заканчивается цифрой 0, то оно делится на 5»;

Р ешение: А Þ В – импликация высказываний, где А – условие, В – заключение. А: «Число10 заканчивается цифрой 0» – истинно; В: «Это число делится на 5» – истинно. Тогда А Þ В – истинно по определению импликации.

б) «Карась – морская или речная рыба»;

Решение: АÚ В – дизъюнкция высказываний А: «Карась – морская рыба» - ложно. В: «Карась – речная рыба»- истинно. Тогда АÚ В – истинно по определению дизъюнкции.

в) «Число 13 четное и натуральное»;

Решение: АÙ В – конъюнкция высказываний. А: «Число 13 – четное» – ложно. В: «Число 13 – натуральное» – истинно. Тогда АÙ В – ложно по определению конъюнкции.

 

0Б. Определите значения истинности высказываний А, В, С, если:

а) «sin 90^о = 0» Û А ≡ И;

Решение: Дана эквиваленция 2-х высказываний, которая истинна. Известно, что эквиваленция двух высказываний истинна при одинаковых значениях истинности входящих в него высказываний. А поскольку высказывание «sin 90^о = 0» – ложно, то и высказывание А – ложно.

б) В Þ «тела при нагревании не расширяются» ≡ Л;

Решение: Дана импликация 2-х высказываний, которая ложна. Импликация двух высказываний истинна во всех случаях, кроме одного, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно. Высказывание «тела при нагревании не расширяются» ложно, значит, высказывание В – истинно.

в) С Ù «укроп – растение семейства зонтичных» – И;

Решение: Дана конъюнкция 2-х высказываний. Конъюнкция высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Поскольку «укроп – растение семейства зонтичных» истинное высказывание, то высказывание С – истинно.

 

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания III уровня)

 

1А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) (АÙ В)Ù С; б)

 

1Б. Даны составные высказывания:

а) «Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А»;

б) «Числа m и n взаимно просты тогда и только тогда, когда у них нет общих делителей».

Запишите данные высказывания в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

 

2А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÙ , б) АÚ ВÞ С.

 

2Б. Даны составные высказывания:

а) «Четырехугольник АВСD является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно параллельны»;

б) «Высказывание В является отрицанием высказываниz А тогда и только тогда, когда А и В принимают противоположные значения истинности».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

 

3А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) СÞ (АÙ В), б) АÞ ( Ú В).

 

3Б. Даны высказывания:

а) «3 и 8 – однозначные числа»;

б) «Собака – домашнее или дикое животное».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

4А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÞ (АÙ ), б) АÞ ( Ù С).

 

4Б. Даны высказывания:

а) «Картофель и тыква – овощи»;

б) «Число 0, 7 – натуральное или целое».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

5А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) ( Ù В) Þ С, б) АÞ ( Ù В).

 

5Б. Даны высказывания:

а) «Число 17 – четное или делится на 5»;

б) «Свекла растет в поле и в огороде».

Запишите каждое высказывание в виде логической формулы. Сформулируйте отрицания данных высказываний двумя способами, используя законы де Моргана. Определите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

 

0А. Составьте таблицы истинности для высказываний:

а) АÙ В Þ , б) Ú Þ С.

Решение:

а) АÙ В Þ ,

А	В	С	АÙ В		(АÙ В)Þ
и и и и л л л л	и и л л и и л л	и л и л и л и л	и и л л л л л л	л и л и л и л и	л и и и и и и и

Решение:

б) Ú Þ С.

	А	В	С			Ú	Ú Þ С
	и и и и л л л л	и и л л и и л л	и л и л и л и л	л л л л и и и и	л л и и л л и и	л л и и и и и и	и и и л и л и л

 

0Б. Даны составные высказывания:

а) «Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда имеет место с²=а²+в²»; б) «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в записи числа делится на 3». Запишите данные высказывания в виде логической формулы. Сформулируйте каждое высказывание в виде конъюнкции двух взаимно-обратных импликаций.

Решение:

а) А: «Треугольник является прямоугольным» В: «с²=а²+в²»

АÛ В – данное высказывание АÛ Вº (АÞ В)Ù (ВÞ А)

(АÞ В)Ù (ВÞ А): «Если треугольник прямоугольный, то с²=а²+в² и если с²=а²+в², то треугольник является прямоугольным».

б) А: «Число делится на 3».

В: «Сумма цифр в записи числа делится на 3».

АÛ В º (АÞ В)Ù (ВÞ А)

(АÞ В)Ù (ВÞ А): «Если число делится на 3, то сумма цифр в записи числа делится на 3, и если сумма цифр в записи числа делится на 3, то число делится на 3».

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания IV уровня).

 

1. Составьте таблицу истинности ( Þ (УÙ ))Þ (( Ú Х)Þ ).

2. Составьте таблицу истинности ((ХÙ )Þ У)Ù ( Þ ( Ú Z)).

3. Составьте таблицу истинности (ХÞ (УÚ ))Þ (( Ù Z)Þ ).

4. Составьте таблицу истинности

5. Составьте таблицу истинности

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (задания V уровня).

 

1. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) Û ; б) Ú ; в)

2. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) ; б) ( Þ ) Þ ; в) Ú Û Ú .

 

3. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) АÚ АÛ А; б) АÞ ВÛ Þ .

 

4. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) Þ (АÞ В); б) ((АÞ В)Þ А)Û А.

 

5. Докажите, что следующие высказывания являются тождествами (тавтологиями): а) (АÛ В)Û (ВÛ А); б) (АÞ В)Ú (ВÞ А).