Студопедия — Система n лінійних рівнянь з n невідомими
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Система n лінійних рівнянь з n невідомими






Хай дана лінійна система п рівнянь з п невідомими, де aij bi, (i = 1, 2..., n; j= 1, 2..., n) - довільні числа, звані, відповідно, коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь.

(1)

Такий запис (1) називається системою лінійних рівнянь в нормальній формі.

Рішенням системи (1) називається така сукупність n чисел (х1 = k1, x2=k2, xn=kn), при підстановці яких кожне рівняння системи звертається у вірну рівність.

Система рівнянь сумісна, якщо вона має хоч би одне рішення і несумісна, якщо вона не має рішень.

Якщо сумісна система рівнянь має єдине рішення, вона називається визначеною; навпаки, система рівнянь називається невизначеною, якщо вона має більш за одне рішення.

Дві системи рівнянь є рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень. Система, рівносильна даній може бути отримана за допомогою елементарних перетворень системи (1).

Систему можна також записати у вигляді матричного рівняння:

А´ Х = У

де А — матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи:

 

 

X — матриця-стовпець (вектор) невідомих:

 

В — матриця-стовпець (вектор) вільних членів:

 

 

У розгорненому вигляді систему (1) можна представити таким чином:

 

Існує ряд методів рішення системи, орієнтованих на обчислення уручну: методи Крамера, Гауса і т.д. Припускаючи використання комп'ютера для проведення обчислень, найдоцільніше розглянути рішення системи в загальному вигляді (метод зворотної матриці). Вважатимемо, що квадратна матриця системи Аnm є невиродженою, тобто її визначник |А| ¹ 0. В цьому випадку існує зворотна матриця А-1.

Умножаючи зліва обидві частини матричної рівності на зворотну матрицю А-1 отримаємо:

А-1 ´ А ´ Х = А-1´ В, Е ´ Х = А-1 ´ В;

Е ´ Х = Х,

звідси рішенням системи методом зворотної матриці буде матриця-стовпець

 

Х = А-1´ В

 

Таким чином, для вирішення системи (знаходження вектора X) необхідно знайти зворотну матрицю коефіцієнтів і помножити її справа на вектор вільних членів. Виконання цих операцій в пакеті Excel розглянуте у лабораторній роботі «Дії з масивами».

Приклад. Хай необхідно вирішити систему

 

 

Рішення

1. Введіть матрицю А (в даному випадку розміру 2 х 2) в діапазон А2: В3; Вектор В = (7 40) введіть в діапазон С2: С3.

2. Знайдіть зворотну матрицю А-1. Для цього:

§ виділите блок осередків під зворотну матрицю. Наприклад, виділіть блок А5: В6;

§ натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

§ у полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція — ім'я функції МОБР. Після цього клацніть на кнопці 0К;

§ у другому кроці діалогу МОБР введіть діапазон початкової матриці А2: В3 в робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці). Дії закінчіть натисканням клавіш CTRL+SHIFT+ENTER; В результаті в діапазоні АЗ: В4 з'явиться зворотна матриця:

 

3. Множенням зворотної матриці А-1 на вектор В знайдіть вектор X. Для цього:

§ виділіть блок осередків під результуючу матрицю (під вектор X). Її розмірність буде т × р, в даному прикладі 2× 1 Наприклад, виділіть блок осередків С5: С6 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці);

§ у вікні Майстра функцій в робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція ім'я функції — МУМН0Ж;

§ у другому кроці діалогу введіть діапазон зворотної матриці А5: В6 в робоче поле Массив1 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці ВС2: С3 — в робоче поле Массив2. Після цього натисніть поєднання клавіш CTRL+SHIFT+ENTER;

§ в результаті в діапазоні С5: С6 з'явиться вектор X. Причому х = 5 буде знаходитися в осередку С5, а у = -4 — в осередку С5.

Можна здійснити перевірку знайденого рішення. Для цього знайдений вектор X необхідно підставити в початкове матричне рівняння А× Х= В.

Перевірка проводиться таким чином.

1. Виділите блок осередків під результуючу матрицю (під вектор В). Її розмірність буде т × р, в даному прикладі 2× 1. Наприклад, виділите блок осередків D2: D3 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці).

2. У діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція — ім'я функції МУМНОЖ. Клацніть на кнопці ОК.

3. Введіть діапазон початкової матриці А — А2: В3 в робоче поле Массив1 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці X — С5: С6 - в робоче поле Массив2. Після цього натисніть поєднання клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результаті в діапазоні D2: D3 з'явиться вектор В, і, якщо система вирішена правильно, вектор, що з'явився, буде рівний результатному В = (7 40).

 

Вправи

Вирішіть самостійно наступні приклади і зробіть перевірку.

Номер варіанта Завдання Номер варіанта Завдання
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 490. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия