Скалярное поле. Градиент. Производная по направлениюЕсли задана функция , то ее можно принять как скалярное поле, зависящее от координат точек либо просто скалярная функция скалярных аргументов. Скорость изменения этой функции по направлению некоторого вектора определяется по формуле (производная по направлению):
где - направляющие косинусы вектора . Пример 173 Найти производную функции в точке по направлению вектора , если .
Решение , ,
,
.
Пример 174 Вычислить производную функции в точке по направлению вектора . Решение
. Градиентом функции (поля) называется вектор
. Пример 175 Найти в точке М0(1; 1; 1), если . Решение
, или
. Дифференциальные уравнения
Уравнения первого порядка Таблица 1
Пример 176 Определить тип уравнений
а) − однородное, так как
является функцией от отношения переменных;
б) − линейное уравнение 1-го порядка;
в) − с разделяющимися переменными, так как
;
г) - уравнение Бернулли. Запишем по другому это уравнение ;
д) - в полных дифференциалах, так как
.
Пример 177 Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
, ,
, .
Пример 178 Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение . Пример179 Найти общий интеграл дифференциального уравнения .
|