Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Электрические цепи однофазного переменного тока




 

Ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, называется переменным синусоидальным током.

i(t) = Imsin(ωt + ψi) = Imcos(ωt + ψi + π/2), (2.1)

где i(t) – мгновенное (зависящее от времени) значение тока (рис. 2.1);

Im – амплитуда тока;

ω – угловая частота тока;

ψi – начальная фаза тока.

Рис. 2.1

 

Среднее значение тока

(2.2)

Среднеквадратичное значение тока

(2.3)

В качестве действующего значения синусоидального тока и напряжения принимается его среднеквадратичное значение:

I = iср.кв. = ; U = uср.кв .= ,

где Im, Um– амплитудное (максимальное) значение тока и напряжения.

Период синусоидального тока T = 2π/ω.

Синусоидальная функция времени i(t) может быть получена, как проекция на вертикальную ось комплексной плоскости вектора (рис. 2.1), вращающегося в положительном направлении стрелки с угловой частотой ω. Вектор имеет модуль равный амплитуде Im. Он направлен в плоскости чертежа относительно горизонтальной оси под углом ψi .

Вектор на комплексной плоскости выражают комплексным числом и называют комплексной амплитудой тока.

İ ,

где – мнимая единица или единичный вектор с углом поворота на 90 градусов.

Комплексная амплитуда тока в алгебраической форме

,

где ; ; .

Комплексная амплитуда тока в показательной форме

,

где .

Вращение комплексной амплитуды с угловой частотой ω аналитически выражают следующим образом:

. (2.4)

Мгновенное значение тока i(t)

, (2.5)

где ω – угловая частота, ψi – начальная фаза. Большой буквой с точкой наверху обозначают только комплексные изображения синусоидальных функций времени.

Математическое описание синусоидальной функции дано на примере тока i(t). Аналогично описывают математически ЭДС е(t), напряжение u(t) и потокосцепление Ψ(t).

Пассивными линейными элементами (приемниками) электрической цепи синусоидального тока являются: резистивный элемент (резистор), обладающий сопротивлением R; индуктивный элемент (индуктивная катушка) с индуктивностью L; и емкостный элемент (конденсатор) с емкостью С. Сопротивление, индуктивность и емкость являются коэффициентами пропорциональности в выражениях для напряжения u, потокосцепления Ψ и количества электричества q в линейных цепях через ток и напряжение:

u = Ri; Ψ = Li; q = С u . (2.6)

 

Индуктивный элемент рассматривают, как зависимый источник

напряжения, ЭДС которого представляется как источник. При этом положительные направления для ЭДС и тока принимаются совпадающими согласно закону электромагнитной индукции

е = – dΨ/dt или е = dΨ/dt, если индуктивный элемент рассматривается, как приемник, и положительное направление ЭДС принимается противоположным условно-положительному направлению, выбранному для тока. В обоих случаях напряжение на зажимах индуктивного элемента

.

Мгновенные значения напряжения u , тока i и мощности р для трех элементов цепи синусоидального тока приведены в табл. 2.1. Там же даны комплексные изображения синусоидальных величин и , а также операторов Z и Y.

Под комплексными изображениями синусоидальных функций вре-мени понимают комплексные действующие значения , и . Комп-лексные сопротивления Z и проводимость Y представляют собой опе-раторы, преобразующие синусоидальный ток i(t) в синусоидальное напряжение u (t) и наоборот.

Под WL понимается энергия магнитного поля, а под WC - энергия электрического поля. Рассмотрение синусоидальных токов и напряжений в резистивном, индуктивном и емкостном элементах (табл. 2.1) для линейных цепей синусоидального тока позволяет обобщить законы Ома и Кирхгофа и представить их в форме (табл. 2.2), где Zt = Rk + jXk – комплексное сопротивление ветви k; Zк= | Zk | = √(Rк2 + Xк2) модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление; arc tg (Xk/Rk) = φк аргумент комплексного сопротивления ветви k или угол, на который ток iк отстает от напряжения uk.

Если ветвь состоит только из резистивного элемента с сопротивле-нием Rk, то φk = 0; если ветвь содержит только индуктивный элемент Lk, то φk = π/2; а если только емкостный элемент Ck, то φk = -π/2.


 

Таблица 2.1

Элемент Уравнение для мгновенных значений i и u Связь между i=Imsin(ωt+ψi) и u=Umsin(ωt+ψi) Закон Ома: 1) для амплитуд; 2) в комплексной форме
Резистивный (сопротивление R) u = Ri, где R – коэффициент пропорциональности между напряжением u и током i u=RImsin(ωt+ψi)= Umsin(ωt+ψu); Um = Ri; ψu = ψi . 1) Um=RIm или Im=GUm , где G = 1/R 2) или ; , где R – активное сопротивление; G – активная проводимость
Индуктивный (индуктивность L) где L – коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током i u = ωLImcos(ωt+ψi)= =Umsin(ωt+ψu); Um = ωLIm; ψu = ψi+π/2 1) Um= XL Im или Im= BL Um , где XL =1/ BL =ωL 2) или ; Z = 1/У =jωL=jXL где XL = ωL – реактивное (индуктивное) сопротивление; BL = 1/XL = 1/(ωL) – реактивная (индуктивная) проводимость
Емкостный (емкость С) где С – коэффициент пропорциональности между зарядом q и напряжением u   i = ωCUmcos(ωt+ψu) = = Imsin(ωt+ψi); Im = ωCUm; ψi = ψu+π/2 1) Um=XCIm или Im=BCUm , где XC=1/BC=1/ωC 2) ; ; У = 1/Z =jωC=jBC где XС=1/BС=1/(ωС) – реактивное (емкостное) сопротивление BC=ωC – реактивная (емкостная) проводимость
Элемент Изображения Z и Y на комплексной плоскости Векторная диаграмма (Um=Um u; Im = Imi)
Продолжение таблицы 2.1    

Графики i(t), u(t), p(t), w(t)

Резистивный (сопротивление R)          
Индуктивный (индуктивность L)          

 

 

  Элемент   Изображения Z и Y на комплексной плоскости   Векторная диаграмма (Um=Um u; Im = Imi)   Графики i(t), u(t), p(t), w(t)
    Емкостный (ёмкость С)      

Продолжение таблицы 2.1


Таблица 2.2

 

  Законы Математические выражения
для мгновенных значений для комплексных значений
  Закон Ома Для резистивного элемента U = Ri; i = Gu Для индуктивного элемента u = L (di/dt) ; i = 1/L∫udt Для емкостного элемента i=C(du/dt); u=1/C∫i/dt В общем виде Ů = Zİ; İ = Y Ů . Для резистивного элемента Z = R = 1/G; Y=G =1/R Для индуктивного элемента Z = jωL = jXL; У = l/(jωL) = - BL Для емкостного элемента Z = 1/(jωC) =-jXc; Y = jωC= jBc  
  Первый закон Кирхгофа (для узла)   ∑ik = 0   ∑İk = 0
  Второй закон Кирхгофа (для контура)   ∑uk = 0 ∑ ( Rk ik + Lk d ik/dt + +1/C∫ik dt ] = ∑ek ∑ Ů k = 0 ∑zkİk = ∑Ek

 

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 293. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия