Электрические цепи однофазного переменного тока

 

Ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, называется переменным синусоидальным током.

i(t) = I_msin(ω t + ψ _i) = I_mcos(ω t + ψ _i + π /2), (2.1)

где i(t) – мгновенное (зависящее от времени) значение тока (рис. 2.1);

I_m – амплитуда тока;

ω – угловая частота тока;

ψ _i – начальная фаза тока.

Рис. 2.1

 

Среднее значение тока

(2.2)

Среднеквадратичное значение тока

(2.3)

В качестве действующего значения синусоидального тока и напряжения принимается его среднеквадратичное значение:

I = i_ср.кв. = ; U = u_ср.кв.= ,

где I_m, U_m– амплитудное (максимальное) значение тока и напряжения.

Период синусоидального тока T = 2π /ω.

Синусоидальная функция времени i(t) может быть получена, как проекция на вертикальную ось комплексной плоскости вектора (рис. 2.1), вращающегося в положительном направлении стрелки с угловой частотой ω. Вектор имеет модуль равный амплитуде I_m. Он направлен в плоскости чертежа относительно горизонтальной оси под углом ψ _i.

Вектор на комплексной плоскости выражают комплексным числом и называют комплексной амплитудой тока.

İ ,

где – мнимая единица или единичный вектор с углом поворота на 90 градусов.

Комплексная амплитуда тока в алгебраической форме

,

где ; ; .

Комплексная амплитуда тока в показательной форме

,

где .

Вращение комплексной амплитуды с угловой частотой ω аналитически выражают следующим образом:

. (2.4)

Мгновенное значение тока i(t)

, (2.5)

где ω – угловая частота, ψ _i – начальная фаза. Большой буквой с точкой наверху обозначают только комплексные изображения синусоидальных функций времени.

Математическое описание синусоидальной функции дано на примере тока i(t). Аналогично описывают математически ЭДС е(t), напряжение u(t) и потокосцепление Ψ (t).

Пассивными линейными элементами (приемниками) электрической цепи синусоидального тока являются: резистивный элемент (резистор), обладающий сопротивлением R; индуктивный элемент (индуктивная катушка) с индуктивностью L; и емкостный элемент (конденсатор) с емкостью С. Сопротивление, индуктивность и емкость являются коэффициентами пропорциональности в выражениях для напряжения u, потокосцепления Ψ и количества электричества qв линейных цепях через ток и напряжение:

u = Ri; Ψ = Li; q = С u.(2.6)

 

Индуктивный элемент рассматривают, как зависимый источник

напряжения, ЭДС которого представляется как источник. При этом положительные направления для ЭДС и тока принимаются совпадающими согласно закону электромагнитной индукции

е = – dΨ /dt или е = dΨ /dt, если индуктивный элемент рассматривается, как приемник, и положительное направление ЭДС принимается противоположным условно-положительному направлению, выбранному для тока. В обоих случаях напряжение на зажимах индуктивного элемента

.

Мгновенные значения напряжения u, тока i и мощности р для трех элементов цепи синусоидального тока приведены в табл. 2.1. Там же даны комплексные изображения синусоидальных величин и , а также операторов Z и Y.

Под комплексными изображениями синусоидальных функций вре-мени понимают комплексные действующие значения , и . Комп-лексные сопротивления Z и проводимость Y представляют собой опе-раторы, преобразующие синусоидальный ток i(t) в синусоидальное напряжение u (t) и наоборот.

Под W_L понимается энергия магнитного поля, а под W_C - энергия электрического поля. Рассмотрение синусоидальных токов и напряжений в резистивном, индуктивном и емкостном элементах (табл. 2.1) для линейных цепей синусоидального тока позволяет обобщить законы Ома и Кирхгофа и представить их в форме (табл. 2.2), где Z_t = R_k + jX_k– комплексное сопротивление ветви k; Z_к= | Z_k | = √ (R_к² + X_к²)–модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление; arc tg (X_k/R_k)= φ _к –аргумент комплексного сопротивления ветви k или угол, на который ток i_к отстает от напряжения u_k.

Если ветвь состоит только из резистивного элемента с сопротивле-нием R_k, то φ _k = 0; если ветвь содержит только индуктивный элемент L_k, то φ _k = π /2; а если только емкостный элемент C_k, то φ _k = -π /2.

 

Таблица 2.1

Элемент	Уравнение для мгновенных значений i и u	Связь между i=Imsin(ω t+ψ i) и u=Umsin(ω t+ψ i)	Закон Ома: 1) для амплитуд; 2) в комплексной форме
Резистивный (сопротивление R)	u = Ri, где R – коэффициент пропорциональности между напряжением u и током i	u=RImsin(ω t+ψ i)= Umsin(ω t+ψ u); Um = Ri; ψ u = ψ i .	1) Um=RIm или Im=GUm, где G = 1/R 2) или ; , где R – активное сопротивление; G – активная проводимость
Индуктивный (индуктивность L)	где L – коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током i	u = ω LImcos(ω t+ψ i)= =Umsin(ω t+ψ u); Um = ω LIm; ψ u = ψ i+π /2	1) Um= XL Im или Im= BL Um, где XL =1/ BL =ω L 2) или ; Z = 1/У =jω L=jXL где XL = ω L – реактивное (индуктивное) сопротивление; BL = 1/XL = 1/(ω L) – реактивная (индуктивная) проводимость
Емкостный (емкость С)	где С – коэффициент пропорциональности между зарядом q и напряжением u	i = ω CUmcos(ω t+ψ u) = = Imsin(ω t+ψ i); Im = ω CUm; ψ i = ψ u+π /2	1) Um=XCIm или Im=BCUm, где XC=1/BC=1/ω C 2) ; ; У = 1/Z =jω C=jBC где XС=1/BС=1/(ω С) – реактивное (емкостное) сопротивление BC=ω C – реактивная (емкостная) проводимость
Элемент	Изображения Z и Y на комплексной плоскости	Векторная диаграмма (Um=Um < ψ u; Im = Im< ψ i)	Продолжение таблицы 2.1     Графики i(t), u(t), p(t), w(t)
Резистивный (сопротивление R)
Индуктивный (индуктивность L)

 

 

Элемент	Изображения Z и Y на комплексной плоскости	Векторная диаграмма (Um=Um < ψ u; Im = Im< ψ i)	Графики i(t), u(t), p(t), w(t)
Емкостный (ёмкость С)

Продолжение таблицы 2.1

Таблица 2.2

 

Законы	Математические выражения
для мгновенных значений	для комплексных значений
Закон Ома	Для резистивного элемента U = Ri; i = Gu Для индуктивного элемента u = L (di/dt); i = 1/L∫ udt Для емкостного элемента i=C(du/dt); u=1/C∫ i/dt	В общем виде Ů = Zİ; İ = Y Ů. Для резистивного элемента Z = R = 1/G; Y=G =1/R Для индуктивного элемента Z = jω L = jXL; У = l/(jω L) = - BL Для емкостного элемента Z = 1/(jω C) =-jXc; Y = jω C= jBc
Первый закон Кирхгофа (для узла)	∑ ik = 0	∑ İ k = 0
Второй закон Кирхгофа (для контура)	∑ uk = 0 ∑ (Rk ik + Lk d ik/dt + +1/C∫ ik dt ] = ∑ ek	∑ Ů k = 0 ∑ zkİ k = ∑ Ek