Другий закон Ньютона

Другий закон Ньютона - основний закон динаміки. Цей закон виконується тільки в інерціальних системах відліку.

Другий закон Ньютона - це фундаментальний закон природи; він є узагальненням дослідних фактів, які можна розділити на дві категорії,:

1. Якщо на тіла різної маси подіяти однаковою силою, то прискорення тіл виявляються обернено пропорційні до мас:

, при F =const.

2. Якщо силами різної величини подіяти на одне і те ж тіло, то прискорення тіла виявляються прямо пропорційними прикладеним силам:

, при m =const.

Узагальнюючи подібні спостереження, Ньютон сформулював основний закон динаміки:

Сила, діюча на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, що надається цією силою:

. (1.14)

Другий закон Ньютона дозволяє розрахувати прискорення тіла, якщо відома його маса і діюча на тіло результуюча сила:

.

Якщо на тіло одночасно діють декілька сил (наприклад, F₁, F₂ і т.д.) то під силою у формулі, що виражає другий закон Ньютона, треба розуміти рівнодійну усіх сил:

.

У разі, коли сила, діюча на тіло не постійна, другий закон Ньютона записують в диференціальному виді:

.

Враховуючи, що маса в класичній механіці величина постійна, її можна внести під знак похідної і отримати:

.

Векторну величину називають імпульсом тіла. Скориставшись визначенням імпульсу, рівняння другого закону Ньютона можна записати у виді

, (1.15)

а сам закон сформулювати так: похідна імпульсу матеріальної точки від часу дорівнює результуючій усіх сил, діючих на точку.

Якщо рівнодійна сила дорівнює нулю, то тіло залишатиметься в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Таким чином, формально другий закон Ньютона включає як окремий випадок перший закон, проте перший закон Ньютона має глибший фізичний зміст - він постулює існування інерціальних систем відліку.

§ 6. Третій закон Ньютона

На тіло діють сили тільки тоді, коли воно взаємодіє з іншими тілами. Наведемо декілька прикладів. При зіткненні двох більярдних куль міняють свою швидкість, тобто отримують прискорення обидві кулі. Коли при формуванні залізничного потяга вагони натрапляють один на одного, буферні пружини стискуються в обох вагонів. Земля притягує місяць і примушує його рухатися по криволінійній траєкторії. У свою чергу місяць притягує Землю (ця дія виражається приливами і відливами в океанах). Ці приклади показують, що сили завжди виникають не " самостійно", а по дві відразу: якщо одне тіло діє з деякою силою на інше (дія), то і друге тіло діє з деякою силою на перше (протидія).

Третій закон Ньютона кількісно характеризує цю взаємодію: сили, з якими тіла діють один на одного, рівні за величиною і протилежні по напряму і діють уздовж прямої, яка сполучає ці тіла:

. (1.16)

Рисунок 1.10.

Рисунок 1.10 ілюструє третій закон Ньютона. Людина діє на вантаж з такою ж по модулю силою, з якою вантаж діє на людину. Ці сили спрямовані в протилежні сторони. Вони мають одну і ту ж фізичну природу - це пружні сили канату.

Сили, діючі між частинами одного і того ж тіла, називаються внутрішніми. Якщо тіло рухається як ціле, то його прискорення визначається тільки зовнішньою силою. Внутрішні сили виключаються з другого закону Ньютона, оскільки їх векторна сума дорівнює нулю. В якості прикладу розглянемо (рис.1.11), на якому зображено два тіла з масами m₁ і m₂, жорстко зв'язані між собою невагомою нерозтяжною ниткою і рухаються з однаковим прискоренням як єдине ціле під дією зовнішньої сили F.

Рисунок 1.11.

Між тілами діють внутрішні сили, що підпорядковуються третьому закону Ньютона F₁=-F₂. Рух кожного тіла залежить від сили взаємодії між ними. Другий закон Ньютона, застосований до кожного тіла окремо, дає:

.

Складаючи ліві і праві частини цих рівнянь і зважаючи, що F₁=-F₂, а₁=а₂=а, отримаємо: . Внутрішні сили виключилися з рівняння руху системи двох пов'язаних тіл.

Закони Ньютона дають можливість розв’язати будь-яке завдання механіки. Знаючи прискорення можна знайти швидкість, переміщення і координати тіла у будь-який момент часу. Для цього треба знати початкові умови - початкове положення тіла і початкову швидкість.

Так, наприклад, вченим, які управляють польотом космічного корабля, необхідно наперед знати положення корабля у будь-який момент часу. Їм відоме початкове положення корабля на стартовому майданчику, початкова швидкість і сили, які діють на корабель в будь-якій точці траєкторії. Користуючись цими даними, вони вирішують задачу механіки відносно космічного польоту. Так, як сили, які діють на корабель, увесь час міняються, то ці обчислення дуже складні.

§7. Сили в механіці.

Закон всесвітнього тяжіння

Дослід показує, що Земля притягує до себе усі тіла, що знаходяться на ній і поблизу неї: людей, воду морів, океанів і річок, будинки, Місяць і т. д. Але і ці тіла притягують до себе Землю. Наприклад, тяжіння з боку місяця викликає на Землі приливи і відливи води, величезні маси якої піднімаються в океанах і морях двічі в добу на багато метрів. Земля і усі інші планети, що рухаються навколо Сонця, притягуються одна до одної. Притягуються один до одного і усі тіла на Землі. Взаємне тяжіння Всесвіту називається всесвітнім тяжінням.

Тіла притягуються один до одного з силою, яка прямо пропорційна добутку мас тіл m_1, m₂ і обернено пропорційна до квадрата відстані між ними r₂ (рис. 1.12).

Рисунок 1.12.

. (1.17)

G - гравітаційна стала G=6, 67 ·10^-11 Н·м²/кг².

Сила тяжіння.

Якщо записати силу гравітаційної взаємодії Землі і тіла масою m, яке знаходиться поблизу поверхні Землі, отримаємо таку формулу:

. (1.18)

У цій формулі М_з - маса Землі, R_з - радіус Землі - величини постійні.

Сила тяжіння надає всім тілам, що знаходяться в цьому місці земної поверхні однакове прискорення, яке називають прискоренням вільного падіння: g. Але прискорення можна розрахувати за другим законом Ньютона g = F/m, тоді:

≈ 9, 8 м/с². (1.19)

Силу тяжіння поблизу поверхні землі можна вважати постійною і рівною: F=mg.

Оскільки сила тяжіння залежить від відстані, то тіло масою m, підняте на висоту h над поверхнею Землі, притягується до Землі з меншою силою

. (1.20)

Тому і прискорення вільного падіння змінюється при віддаленні від земної поверхні. На висоті h над поверхнею Землі, вираз для прискорення вільного падіння треба записувати у такому вигляді:

. (1.21)

З приведеної формули виходить, що якщо тіло знаходиться на висоті декілька сотень метрів прискорення g можна вважати постійним, і не залежним від положення тіла.

Вага тіла

Силу, з якою тіло внаслідок тяжіння до Землі діє на опору або підвіс, називають вагою тіла.

Визначимо вагу тіла підвішеного на нитці.

Якщо тіло покоїться (рис 1.13 а), або рухається рівномірно, згідно з першим законом Ньютона сила тяжіння урівноважується силою натягу нитки. F_н=mg. За третім законом Ньютона вага тіла чисельно дорівнює силі натягу нитки F_н=Р тоді вага чисельно дорівнює силі тяжіння. Р=mg

F_н F_н F_н

а=0 а а