Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения вынужденных колебаний, их решения





 

Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону. При этом колебания в системе происходят на циклической частоте внешнего воздействия, а амплитуды колебаний различных величин в системе будут зависеть от этой частоты.

Рассмотрим дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний, происходящих в колебательном контуре под действием внешнего напряжения, изменяющегося по гармоническому закону

. (5.60)

В этом случае дифференциальное уравнение (5.1) примет следующий вид:

. (5.61)

Известно, что решением этого уравнения является следующее выражение

. (5.62)

Из формулы (5.62) следует, что первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы и амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Если взять время t, большее времени установления стационарного режима колебаний в контуре (t > t уст), то тогда в выражении (5.62) останется только второе слагаемое (первым слагаемым можно пренебречь), которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора

t > t уст: . (5.63)

Аналогичные уравнения можно записать для напряжения UC на конденсаторе и силы тока I в контуре

, . (5.64)

Как уже отмечалось, амплитуды колебаний этих величин зависят от частоты внешнего напряжения, такие зависимости называют резонансными кривыми: , , .

Выведем формулы для этих зависимостей. Для этого используем формулу Эйлера (5.40) для комплексной формы записи гармонического колебания.

, , ,

.

Подставим эти выражения в формулу (5.61):

,

.

Два комплексных числа равны, если будут равны их вещественные и мнимые части, поэтому

, . (5.64а)

Возведем каждое уравнение (5.64а) в квадрат, сложим их и получим

. (5.65)

Разделим уравнения (5.64а) одно на другое, что приводит к формуле

. (5.66)

Используя выражение (5.65), запишем

. (5.67)

. (5.68)

Рассмотрим подробнее резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе и амплитуды силы тока в контуре.

 

 






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 296. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.017 сек.) русская версия | украинская версия