Сложение векторов и умножение вектора на число1. Если = (x 1, y 1, z 1), = (x 2, y 2, z 2), то ± = (x 1 ± x 2, y 1 ± y 2, z 1 ± z 2). (7) Если , то для любого числа α имеем: a × = (ax, ay, az). (8) 3. Признаком коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат: или . (9)
Пример 1. Даны точки А (3, 1, 4), В (–1, 0, 6). Найти координаты вектора и его модуль. Решение. Координаты вектора найдем по формуле (1), а его модуль – по формуле (2). = (–1 – 3, 0 – 1, 6 – 4) = (–4, – 1, 2); . Пример 2. Даны векторы = (2, –1, 3) и = (–3, 1, 4). Найти вектор . Решение. Используя правила действия с векторами, заданными своими координатами (формулы (7), (8)), получим: 2 = (4, –2, 6), 3 = (–9, 3, 12), = 2 – 3 = (13, –5, –6).
Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора Решение. Вектор разложен по базису . Его координаты равны: х = 5, y = –3, z = 2, т.е. = (5, –3, 2). = . Используя формулу (4), получим: ; ; . Используя формулу (5), можно проверить правильность ответа: + , следовательно, задача решена верно. Пример 4. Даны векторы = (2, –3, 4), = (3, 6, 8). Выяснить, будут ли данные векторы коллинеарны. Решение. Используя признак коллинеарности векторов (формула (9)), запишем отношения координат следующим образом: Следовательно, векторы и не коллинеарны.
|