Решение. а) неравенство можно записать так: –2 < – 3 < 2

а) неравенство можно записать так: –2 < – 3 < 2. К каждой части этих неравенств прибавим по 3 и получим:

–2 + 3 < х < 2 + 3, т.е. 1 < х < 5.

 

б) в случае неравенства имеем и , т.е. и .

2.5.4. Определение предела функции в точке.

Геометрический смысл предела функции

Определение. Пусть функция определена в некото­рой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу () при , стремящемся к а (, если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех , отличных от а и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Если есть предел функции при , то пишут:

или и при .

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке.

Если при , то на графике функции это иллюстрируется следующим образом (рис.7).

Рис. 7

Из неравенства или следует неравенство или , это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее чем на d, точки графика функции у = f (x) лежат внутри полосы шириной 2 e, ограниченной прямыми и .

 

2.5.5. Бесконечно малые величины и их свойства

Определение. Функция a = a (х) называется бесконечно малой при или при , если или .

Свойства бесконечно малых функций:

1. Если функции a (х) и b (х) бесконечно малые при (или ), то их алгебраическая сумма a (х) ± b (х) бесконечно мала при (или ).

Это утверждение распространяется на любое конечное число бесконечно малых функций.

2. Если при (или ) функция a (х) бесконечно малая, а функция j (х) ограничена, то их произведение – бесконечно малая функция при (или ).

3. Если a (х) ® 0 при (или ) и не обращается в нуль, то .

4. Частное от деления a (х) на функцию j (х), предел которой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.

 

2.5.6. Бесконечно большие величины и их свойства

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой при , если имеет место одно из равенств:

, .