Корреляционные зависимости

а — переменные x и у не коррелируют;

б — слабая отрицательная корреляция;

в — сильная положительная линейная кор­реляция т. е. направление «облачка» (см. рис. выше). Распространенный спо­соб решения этой задачи — ме­тод наименьших квадратов от­клонений наблюдаемых значе­ний у от рассчитываемых по фор­муле корреляционного уравне­ния.

Особенно широко применя­ется К. а. в теории производст­венных функций, в разработке разного рода нормативов на про­изводстве, а также в анализе спроса и потребления.

Корреляция [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух слу­чайныхвеличин Х и У — без­различно, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением (ложной корреля­цией). Для того, чтобы опре­делить эту зависимость, рассмот­рим новую случайную величину — произведение отклонения зна­чений х от его среднего Мх и отклонения у от своего среднего My. Можно вычислить среднее значение новой случайной ве­личины:

r_xy = М{(х - Мх)(у - Му)}.

Это среднее получило назва­ние корреляционной функции или ковариации. На ее основе (делением на ко­рень произведения дисперсий s_x ² s_y ², т. е. на произведение стандартных отклонений) стро­ится коэффициент корреляции: r_xy

R_xy =--------

s_x s_y

 

При нелинейной зависимости аналогич­ный показатель носит название индекса корреляции.

Если x и у — независимы, то R_xy = 0. Если же х и у - зависимы, то обычно R_xy ¹ 0. Причем в тех случаях, когда зависимость пол­ная, то либо R_xy = 1 (x и у растут или уменьшаются одновременно), либо R_xy= - 1 (при увеличении одной из них другая — умень­шается). Следовательно, коэф­фициент корреляции может из­меняться от -1 до + 1. К. ис­пользуется для выявления ста­тистической зависимости вели­чин при обработке данных. На­ряду с указанной формулой используется ряд формул эмпи­рического определения тесноты корреляционной связи между наблюдаемыми признаками ис­следуемых величин.

 

Л

Лаг [lag, time—lag ], вре­менной Л., запаздыва­ние — экономический показа­тель, отражающий отставание или опережение во времени од­ного экономического явления по сравнению с другим, связанным с ним явлением. Капиталовло­жения в промышленность, например, дают отдачу не сразу, а через несколько лет, когдa будут построены и освоены новые производства. Поэтому, изучая влияние капиталовложений на развитие хозяйства, прихо­дится относить это влияние не на ближайший год, а на третий, четвертый и т. д. Подобные яв­ления отражаются в экономико-математических моделях в ма­шинной имитации через так на­зываемые распределенные Л. различных видов. В мо­дели с распределенным Л. ре­зультат рассматривается не как функция затрат некоторого оп­ределенного года, а как функция затрат последовательного ряда лет прошлого периода:

t

y_t = å w_ix_t-i + u_t,

t = 0

где y_t — результат в году t;

x_t-i — затраты в году t — i;

t — максимальный срок запаздыва­ния;

u_t — ошибка уравнения (по­мехи);

w_i — весовые коэффици­енты, характеризующие сравни­тельное значение отдельных лет для результата.

Наиболее явно выделяются Л. при анализе циклических, в том числе сезонных колебаний.

Важными видами Л. являются инвестиционный Л., характеризующий время оборота всех производственных капита­ловложений (включая вложения в оборудование), и строитель­ный Л., характеризующий сред­ний срок строительства произ­водственного объекта, а также запаздывание предложения то­варов от их производства, запаз­дывание спроса от предложения товаров, запаздывание потребле­ния от спроса, запаздывание вы­пуска кадров от начала их обу­чения, и т. д.

В эконометрических моделях вы­деляются три группы запаздываний:

а) когда значение эндогенной пере­менной в данный момент времени за­висит от значении той же переменной в предшествующие моменты времени;

б) когда данная эндогенная пере­менная может влиять на другую (или другие) эндогенную переменную только по истечении какого-то пери­ода времени;

в) когда значение эндогенной пере­менной определяется значением экзо­генной переменной более раннего вре­мени.

В общей модели распределенного Л. последовательность коэффициентов w_i (t = 0, 1, 2,...) называется структурой Л.

 

Линейная модель [linear mo­del] — модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней при­нимаются линейными. Соответ­ственно, она может формулиро­ваться в виде одного линейного уравнения или системы линей­ных уравнений. Причем, в ряде случаев нелинейность взаимоза­висимостей может приводиться к линейной форме путем матема­тических преобразований пере­менных: например, в нелинейных соотношениях:

у = ae^bx, у = ax^b, у = a + b ----.

x

В первом и втором случаях логарифмирование обеих час­тей уравнений обеспечивает связь линейную в логарифмах: ln y = lna + bx; y = lna + b lnx; a в третьем — линейно зависимы у и I/ х. Л. м., учитывающую стохастику, в общей форме можно записать так:

у_i = a_i + bx_i + u_i

В этой «регрессионной линейной модели» сле­дующие обозначения:

- свободный член a и вектор b — параметры, и — случайная ошибка, математи­ческое ожидание которой равно нулю;

- x_i — вектор переменных, идентифицированных как оказы­вающих воздействия на перемен­ную у (т. е. управляющих пере­менных).

Соответственно, Л. м. в виде системы уравнений в общей форме записывается:

у_i = a_i + Bx_i + u_i,

где: у_i –i-я зависимая переменная;

B = [ b_ij ] — матрица па­раметров модели;

x_i - вектор уп­равляющих переменных в i -м уравнении.

 

Линейная функция [linear function] — функция вида ах +b = у. Основное ее свойство: прираще­ние функции пропорционально приращению аргумента: Л. ф. изображается на графике пря­мой линией. Если b=0 функция называется однородной, причем однородная Л. ф. многих переменных описывается линей­ной формой.

Линейные уравнения [linear equations] — уравнения, в кото­рые неизвестные входят в 1-й сте­пени (линейно) и нет членов, содержащих произведения неиз­вестных или экспоненты. Система линейных урав­нений может иметь либо един­ственное решение, либо беско­нечное множество решений (неопределенная сис­тема), либо ни одного решения (несовместная система).

Общий вид системы Л. у.:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2n x _n = b ₂

…………………………………………

a_{m 1} x ₁ + a_{m 2} x ₂ +… + a_mnx_n = b_m .

Здесь a_ij, b_i, i = 1, 2 … n; j = 1, 2, …, m - произвольные числовые коэффициенты, числа b_i обычно называют свобод­ными членами. В случае, если все b_i = 0, систему называют однородной. При решении системы уравнений широко при­меняются определители, состав­ленные из коэффициентов a_ij при неизвестных. В векторно-матричной записи

n

å a_{ij i}x_ij = b_i, , А х = b

j=1

Здесь A = [ a_ij ] — матрица, со­стоящая из коэффициентов при неизвестных системы («м а т р и ц а с и с т е м ы»).

 

Логистическая функция [logistic function] — функция, кривая которой сначала растет мед­ленно, потом быстро, а затем снова замедляет свои рост, стре­мясь к какому-то пределу. Л. ф. часто применяются в анализе спроса на товары, обладающие способностью достигать некото­рого уровня насыщения.

М

Макроподход и микроподход [macro- and microapproach] — противоположные подходы, за­висящие главным образом от того, с какой позиции наблюдается объект. При макроподходе объ­ект (будь это такая сложная си­стема, как народное хозяйство, или такая сложная его подси­стема, как промышленность, или более простой объект — предприятие, участок) рассма­тривается, так сказать, снаружи, как единое целое. Это означает, что внутренние связи, внутрен­нее устройство объекта игнори­руются, а изучаются только вхо­ды и выходы, их взаимная зави­симость. В кибернетике такой подход связывают с понятием «черного ящика»).

В экономике он означает изу­чение обобщающих показателей функционирования экономиче­ской системы, безотносительно к тому, продуктом каких взаимо­действий составляющих ее эле­ментов являются эти показатели.

При микроподходе же объект рассматривается как бы изнутри. Изучаются внутренняя струк­тура, внутренние связи между его элементами. Микроподход вовсе не означает «микроскопи­ческий», мелкий: при изучении народного хозяйства страны ми­кроподход может означать и ана­лиз взаимосвязей между такими гигантскими элементами, как промышленность и сельское хо­зяйство, производство и потреб­ление и т. д.

Одна из кардинальных и еще далеко не решенных задач эко­номической науки — проблема соединения микроанализа и мак­роанализа реальных экономиче­ских систем разных типов, т. е. выведения из закономерностей экономического поведения и вза­имодействий отдельных элементов системы макроэкономических характеристик ее поведения в це­лом (задача, аналогичная извест­ной задаче физики: установить связь между движением отдель­ных атомов газа и его общими характеристиками, т. е. темпе­ратурой, объемом, давлением). Различные математические под­ходы к такому соединению (иног­да его называют «а г р е г и р о в а н и е м микротеории») исследуются в рамках ряда экономико-математических направлений.

Различие между рассматрива­емыми терминами проводится не всегда строго. Приставка «макро», в частности, привилась к экономической дисциплине — «макроэкономике», ко­торая оперирует такими поня­тиями, как «м а к р о м о д е л и р о в а н и е» (укрупненное мо­делирование экономических про­цессов всего народного хозяй­ства), «макроэкономическая модель» даже «макропоказатели» (такие, например, как совокупный общественный про­дукт, национальный доход и др.). При этом макроэкономисты, во­преки указанному выше разделе­нию, рассматривают экономику не только как одно целое, что естественно для макроподхода, но и членят ее обычно на ряд отраслей или секторов, изучая их взаимозависимости и связи.

 

Макроэкономическая модель [macroeconomic model] то же:

м а к р о м о д е л ь, агреги­рованная, агрегат­ная модель, — экономике-математическая модель, отража­ющая функционирование народ­ного хозяйства как единого це­лого. Макромодели оперируют крупноагрегированными, как правило, стоимостными показа­телями (например, национальный доход, валовые капиталовложе­ния и др.).

Четкого отграничения макро­моделей от микромоделей пока нет. Безусловно лишь, что к пер­вым относятся наиболее обоб­щенные глобальные модели. Что же касается моделей, в которых учитывается членение народного хозяйства на крупные подсисте ­мы, например, секторы (подраз­деления общественного производ­ства), отрасли и регионы, то одни авторы относят их к микромоде­лям, другие — к макромоделям.

Макромодели используются для теоретического анализа наи­более общих закономерностей функционирования и развития народного хозяйства. (Например, аг­регированные теоретико-аналити­ческие модели теории экономи­ческого роста ). М. М. может служить также основной моделью в системе моделей планирования и управления народным хозяй­ством. Определяемые в ней наи­более общие показатели кон­кретизируются в частных моде­лях следующих уровней, уточ­няясь в свою очередь, по резуль­татам этих расчетов. По харак­теру зависимостей макромодели (как и всякие модели) могут быть детерминированными и вероят­ностными(стохастическими), по роли временного фактора — статическими и динамическими, по представлению переменных (включая переменную времени)— дискретными и непрерывными.

Математическая статистика [ mathematical statistics] — раз­дел математики, посвященный методам и правилам обработкии анализа статистических дан­ных (т. е. сведений о числе объ­ектов, обладающих определен­ными признаками в какой-либо более или менее обширной сово­купност и). Сами методы и пра­вила строятся безотносительно к тому, какие статистические данные обрабатываются (физи­ческие, экономические и др.), однако обращение с ними тре­бует обязательного понимания сущности явления, изучаемого с помощью этих правил.

К экономике М. с. применима по той причине, что экономиче­ские данные всегда представляют собой статистические сведения, т. е. сведения об однородных совокупностях объектов и явле­ний. Такими однородными совокупностями могут быть выпуска­емые промышленностью изделия, персонал промышленности, дан­ные о прибылях предприятий и т. д.

В настоящее время существуют разные определения сущности М. с., и не следует удивляться, если вы увидите в одной книге, вопреки сказанному выше, ут­верждение, что М. с, — это на­ука о принятии решений в усло­виях неопределенности, а в дру­гой — что это «наука, объясняю­щая данные статистических на­блюдений при помощи вероятно­стных моделей». Некоторые ав­торы считают, что она — раздел теории вероятностей, а другие, — что она лишь связана с этой тео­рией, представляя собой отдель­ную от нее науку. Наконец, рас­пространено расширенное пони­мание предмета М. с. как охва­тывающей не только вероятно­стные аспекты, но и так называе­мую прикладную статистику(«анализ данных»).

В общем случае, анализ ста­тистических данных методами М. с. позволяет сделать два вы­вода: либо вынести искомое суж­дение о характере и свойствах этих данных или взаимосвязей между ними, либо доказать, что собранных данных недостаточно для такого суждения. Причем выводы могут делаться не из сплошного рассмотрения всей со­вокупности данных, а из ее вы­борки, как правило, случайной (последнее означает, что каждая единица, включенная в выборку, могла быть с равными шансами, т. е. с равной вероятностью, заменена любой другой).

Центральное понятие М. с. — случайная величина — всякая наблюдаемая величина, изменяющаяся при повторениях общего комплекса условий, в которых она возникает. Если сам по себе набор, перечень значении этой величины неудобен для их изучения (поскольку их много). М. с. дает возможность получить необходимые сведения о случайной величине с существенно меньшим количеством чисел. Это объясняется тем, что статистические данные подчиняются таким законам распределения (или приводятся к ним порою искусственными приемами), которые характеризуются всего лишь несколькими параметрами, т. е. характеристиками. Зная их, можно получить столь же полное представ­ление о значениях случайной величины, какое дается их под­робным перечислением в очень длинной таблице. (Характери­стиками распределения являются среднее, медиана, мода, диспер­сия и т. д.).

Если изучаются взаимосвязи между значениями разных слу­чайных величин, то необходимые сведения для этого дают коэффи­циенты корреляции между ними.

Когда совокупность анализи­руется по одному признаку, име­ем дело с так называемой одно­мерной статистикой, когда же рассматривается не­сколько признаков — с много­мерными статистиче­скими методами.

М. с. охватывает широкий круг одномерных и многомерных мето­дов и правил обработки статисти­ческих данных: от простых прие­мов статистического описания (выведение средней, а также степени и характера разброса иссле­дуемых признаков вокруг нее, группировка данных по классам и сопоставление их характери­стик и т. д.), правил отбора фактов при выборочном их рас­смотрении до сложных методов исследования зависимостей меж­ду случайными величинами: вы­явление связей между ними — корреляционный анализ, оценка величины случайной переменной, если величина другой или других известна — регрессионный анализ, выявление наиболее важных скрытых факторов, влияющих на изучаемые величины, — факторный анализ, определение степени влияния отдельных неколичественных факторов на общие результаты их действия (например, в научном эксперименте) — дисперсионный анализ. Перечислен­ные области составляют основ­ные дисциплины, входящие в М.с. К ним примыкают также быстро развивающиеся упоминавшиеся выше методы " анализа данных", не основанные на традиционной для М.с. предпосылке вероятностной природы обрабатываемых данных.

Для экономических исследований большое значение имеет также анализ стохастических процессов, в том числе " марковских процессов".

Задачи М.с. в экономике можно разделить на пять основных типов: первый - оценка статистических данных; второй - сравнение этих данных с каким-то стандартом и между собой (это имеет особое значение при эксперименте или, например, в контроле качества на предприятиях); третий - исследование связей между статистическими данными и их группами. Эти три типа позволяют вынести суждение описательного харак­тера об изучаемых явлениях, подверженных по каким-то при­чинам искажающим случайным воздействиям. Следующий, чет­вертый тип задач связан с на­хождением наилучшего варианта измерения изучаемых данных. И, наконец, пятый тип задач связан с проблемами предвиде­ния и развития, здесь важной место занимают задачи анализа временных рядов. Для экономики особенно ценно то, что М. с. позволяет на основании анализа течения событий в прошлом, т. е. изучения выбранных на опре­деленные даты сведений о харак­терных чертах системы пред­сказать ве­роятное развитие изучаемого яв­ления в будущем (если не изме­нятся существенно внешние или внутренние условия).

В управлении хозяйственными и производственными процессами применяются различные математико-статистические методы. На них основаны многие методы исследования операций, в том числе — методы теории мас­сового обслуживания, позволяю­щие наиболее эффективно орга­низовывать ряд процессов про­изводства и обслуживания насе­ления; теории расписаний, пред­назначенной для выработки оп­тимальной последовательности производственных, транспорт­ных и других операций; теории решений; теории управления за­пасами, а также теории планирования экспериментаи выбороч­ного контроля качества продук­ции; сетевые методы планирова­нияи управления. В эконометрических исследованиях на ос­нове математико-статистической обработки данных строятся эко­номико-математические (эко­номико-статистические) модели экономических процессов, про­водятся экономические и тех­нико-экономические прогнозы. Широкое распространение математико-статистических методов в общественном производстве, а также в других областях со­циально-экономической жизни общества (здравоохранение, экология, естественные науки) опирается на развитие элект­ронно-вычислительной техни­ки. Для решения типовых за­дач математико-статистической обработки данных созданы и применяются многочисленные стандартные прикладные про­граммы для ЭВМ.

 

Математическая экономия [mathematical economics] — наука, изучающая те же вопросы, что эконометрика, только без статистической конкретизации экономических параметров, в виде общих математических зависимостей. На ее основе разработан разнообразный и мощный математический аппарат, основанный на методах функционального анализа, топологии, теории дифференциальных уравнений и др., охватывая своим анализом проблемы экономического роста, равновесия, oптимального управления и т. д.

 

Математическое ожидание (или среднее значение) – [expected value] — для дискретной случайной величины Х равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности SxР (x), а для непрерывной случайной величины — интегралу:

ò xP(x)dx (хÎ А).

Обозначается обычно: Мх или Ех.

Матрица [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид:

 

а₁₁ а₁₂ … а_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

A =...

...

...

a_m1 a_m2 … a_mn

 

В экономике применяются действительные числа, соответственно М. из таких чисел называется действительной. В показанной М. т строк и п столбцов, следовательно, это — М. размера m х n. При m = n имеем квадратнуюМ. (такова М. межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении). В этом случае число т=п называется порядком М. При т¹ п это просто М. (ею может быть, например, натуральный межотраслевой баланс). Э л е м е н т М. в общем виде обозначается a_ij — это показывает, что мы имеем число, расположен­ное на пересечении i- й строки и j -го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, М. А может обозначаться [ а_{i j}].

М. размера m x 1 называется вектор-столбец, а размера 1х п — вектор-строка.

Над М. можно производить ряд математических действий (с помощью операцийнад ихэлементами): сложение, умножениена скаляр, умножениенаМ., обращение, транспонирование идр..

М., транспонированная по отношению к A =[ ij ], есть М. того же размера, у которой столбцы поменялись местами со строками. Иначе говоря, это М. [ а_ji ]. Обратные и транспонированные М. имеют очень большое применение в моделях МОБ. В них также широко применяется разбиение М. на меньшие подматрицы (б л о к и). М. коэффициентов систем уравнений — инструмент решения задач математического программирования, задач линейной алгебры и др.

 

Метод Монте-Карло [Monte— Carlo technique] (статистических испытаний) — один из методов статистического моделирования, основанный на кибернетической идее " черного ящика ";.

Он применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления трудно или вовсе неосуществимо, например, при решении сложных задач теории массового обслуживания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением случайных процессов.

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение, следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса, взаимодействие которых и создает очередь.

Теперь, если наугад перебирать все возможности (например, число покупателей, приходящих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно воссоздать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз меняя условия (число подходящих покупателей), можно изучать получаемые статистические данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком покупателей.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина: здесь распределение будет повторять распределение времени обслу­живания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст " очередь" с примерно такими же характеристиками (например, средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь.

Таким образом, смысл М. М.-К. состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Еди­ничные реализации называются статистическими испытаниями — отсюда второе название метода. Остается определить что такое выбор вариантов наугад (или механизм случайного выбора). В простых случаях для этого можно применять бросание игральной кости (классический учебный прием), но на практике используют таблицы случайных чисел либо вырабатывают (генерируют) случай­ные числа на ЭВМ, для чего имеются специальные, которые называются.

 

Метод наименьших квадратов [least—square technique] — математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией (или линейной комбинацией таких функций). Причем, последняя подбирается с таким расчетом, чтобы средне-квадратичное отклонение фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим. В качестве аппроксимирующих функций применяются линейная (выравнивание по прямой линии), параболическая, экспоненциальная и др. Пример выравнивания динамического ряда по прямой см. на нижеприведенном рисунке.

 

 

Микроэкономическая модель [ microeconomic model] — экономико-математическая модель, отражающая функционирование и структуру звена хозяйственной системы, взаимодействие его составных частей (см. Макроподход и микроподход). Четкого отграничения микромоделей от макромоделей пока нет. Как правило, этот термин относят, однако, к изучению деятельности таких ведущих звеньев экономики, как предприятие и объединение. Кроме того, к микромоделям относят некоторые модели, связанные с социально-экономическими процессами (например, модели спроса и предложения).Их отличия от макромоделей: большая зависимость от внешней среды, дезагрегация показателей. Так же как и макроэкономические модели, микромодели могут быть статическими и динамическими, детерминированными и вероятностными, дискретными и непрерывными.

Многомерный статистический анализ [multidimensional, multivariate statistical analysis] — раздел математической статистики, посвященный математическим методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистических данных, направленным на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака и предназначенным для получения научных и практи­ческих выводов.

Включает дискриминантн ы й а н а л и з, кластерный анализ и другие математико-статистические методы, как правило, не опирающиеся на предпосылку о вероятностном характере исследуемых зависимостей. В частности, дискриминантный анализ предназначен для решения задач, связанных с разделением совокупностей наблюдений (элементарных д а н-

н ы х). Если у исследователя имеется по одной выборке из каждой неизвестной ему генеральной совокупности (такую выборку называют «обучающей»), то с помощью методов дискриминантного анализа удается приписать некоторый новый элемент (наблюдение х) к своей генеральной совокупности.

Кластер-анализ позволяет разбивать исследуемую совокупность элементов (координатыкоторых известны) таким образом, чтобы элементы одного класса находились на небольшом расстоянии друг от друга, в то время как разные классы были бы на достаточном удалении друг от друга и не разбивались бы на столь же взаимоудаленные части.

Методы многомерного анализа сложны с вычислительной точки зрения и потому реализуются, как правило, на ЭВМ, для которых созданы необходимые типовые программы.

Модель [model] — логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса (обычно рассматриваемых как системы или элементы системы). М. используется как условный образ, сконструированный для упрощения их исследования. Природа моделей может быть различной (общепризнанной единой классификации моделей в настоящее время не существует): материальные или вещественные модели (например, модель самолета в аэродинамической трубе); з н а к о в ы е модели двух типов: графические (чертеж, географическая карта) и математические (формула, описывающая гравитационное вааимодействие двух тел); материально идеальные (" деловая игра"); словесное описание объекта (явления, процесса) можно также рассматривать как его модель.

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют математические, прежде всего, экономико-математические модели, часто объединяемые в комплексы моделей и системы моделей.

Н

Нормальное распределение [normal distribution], или распределение Гаусса, — распределение вероятностей случайной величины X, возникающее обычно, когда Х представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначи­тельную роль.

Н. р. унимодально описывается колоколообразной (симметричной) кривой; его средняя (математическое ожидание) совпадает с модой. Н. р. чрезвычайно широко используется в математической статистике. В частности, в моделях регрессии ошибка принимается распределенной по этому закону. Предпосылка Н. р. учитывается и в большинстве критериев статистической проверки гипотез.

О

Обращение матрицы [matrix inversion] — операция получе­ния матрицы, обратной к задан­ной. Если задана матрица А, то обратная ей матрица обознача­ется А ^-1 и вычисляется в общем виде так:

[ A_ji ]

А ^-1 = [ a_ij ] ^–1 = ---------

det A

Здесь det A — детерминант (определитель) этой матрицы, [ A_ji ] — транспонированная ма­трица алгебраических дополне­ний.

При больших размерах мат­рицы вычисление по этой фор­муле элементов матрицы А ^-1 тре­бует очень громоздких расчетов. Поэтому изыскиваются различ­ные более эффективные методы О.м. на ЭВМ.

С помощью обратной матрицы определяются в межотраслевом балансе валовые выпуски про­дукции, необходимые для полу­чения заданных компонентов ко­нечного продукта (т. е. осуще­ствляется решение уравнений МОБ)

 

Определитель матрицы, детерминант [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозна­чение det A. Например, определи­тель (второго порядка) матрицы:

 

		а11	а12
А	=
		a21	a22

 

 

Обозначается

		а11	а12
det А	=
		a21	a22

 

и вычисляется следующим обра­зом:

det А = а₁₁а₂₂ — а₁₂а₂₁

0пределитель, в котором вы­черкнуты произвольная строка, например

i -ая и произвольный столбец, например j -ый, назы­вается минором. Он имеет (n - 1)-й порядок, т. е. порядок на 1 меньше, нежели исходный опре­делитель.

Определители используются при обращении матриц, при решении систем линей­ных уравнений, в частности при решении задач межотраслевого баланса.

 

Оценка параметров модели (ее параметризация) [pa­rameter estimation] — 1. Этап построения экономико-матема­тической модели, например эконометрической модели, заклю­чается в определении численных значений существенных парамет­ров модели, выявленных на пред­варительных этапах анализа ис­следуемого объекта или про­цесса. Па­раметры модели численно оцени­ваются по данным, полученным путем экономического экспери­мента и статистического наблю­дения - чаще всего методом наи­меньших квадратов, методом максимального правдоподобия, а также некоторыми другими статистическими методами. На этой основе можно производить различные операции над мо­делью, например, строить про­гнозы поведения системы.

2. Ко­личественное значение оценен­ных параметров

 

Ошибка [error, deviation]— 1.В эконо­мико-математическом моделиро­вании — элемент модели, отра­жающий суммарный эффект не учтенных в ней непосредственно (т. е. не признанных существен­ными) систематических и слу­чайных факторов, воздействую­щих на экзогенные переменные. 2. В математической статисти­ке то же, что отклонение или разброс около истинного значе­ния рассматриваемой случайной величины.

Ошибки в наблюдениях [observation bias] — в выборочных методах возникают тогда, когда пропускают то, что в действительности имеет место (например, при наблюдении экономических явлений, в задачах поиска).

Ошибки в прогнозировании [ forecasting bias] — расхождения между данными прогноза и дей­ствительными (фактическими) данными. Закономерности О. п. изучаются математико-статистическими методами. Различаются четыре вида ошибок: исходных данных, модели прогноза, согла­сования, стратегии.

Ошибки исходных дан­ных связаны, главным образом, с не­точностью экономических измерений, не качественностью выборки, искаже­нием данных приих агрегировании и т. д.

Ошибки модели прог­ноза возникают вследствие упрощения и несовершенстватеоретичес­ких построений, экспертных оценок и т. д. Правильность моделипрогноза(в том числе оценки ее параметров)проверяется ретроспективным расче­том, который можно сопоставить с дей­ствительным ходом исследуемого про­цесса. Однако и это не дает полной гарантии качества прогноза на буду­щее, так как условия могут измениться.

Ошибки согласования часто происходят из-за того, что ста­тистические данные в народном хо­зяйстве подготавливаются разными ор­ганизациями, которые применяют раз­личную методологию расчетов.

Ошибки стратегии — ре­зультат, главным образом, неудачного выбора оптимистического или песси­мистического, вариантов прогноза.

 

П

Пассивный (безусловный) статистический прогноз [passive fo­recast] — прогноз развития, ос­нованный на изучении статисти­ческих данных за прошлый пе­риод и переносе выявленных за­кономерностей на будущее. При этом внешние факторы, воздей­ствующие на систему, прини­маются неизменными и считается, что ее развитие основывается только на собственных, внутрен­них тенденциях. Примером пас­сивного прогноза является экс­траполяция сложившихся тем­пов роста того или иного показа­теля. Допустим, в среднем за десять лет национальный доход страны рос на 5 % в год. Делаем вывод (экстраполируем): значит, и следующие несколько лет тем­пы останутся прежними. Ясно, что такой прогноз реален только на очень короткий срок и да­леко не для всех экономических показателей, а лишь для наи­более инерционных, устойчи­вых.

 

Переменная модели [variable] — переменная величина, включенная в модель и принимающая различные значения в процессе решения экономико-математической задачи. Независимые переменные принимают значения координат моделируемой системы; они могут быть управляемыми или сопутствующими. Зависимые переменные (функции) вы