Тема №6 Авторегрессионые методы прогнозирования

 

Значительная часть социально–экономических явлений развиваются по закономерностям стационарно–случайных процессов. Наиболее часто подобное можно наблюдать при анализе временных рядов, отражающих ди­намику спроса на продукты питания, объемов хранения сырьевых ресур­сов и готовой продукции на предприятиях. В таких рядах, как правило, за количественным ростом или снижением закономерно наступает тенденция обратного характера, подтверждая тем самым наличие зависимос­ти между элементами ряда.

Уравнение, выражающее зависимость переменной , для време­ни через значения этой же переменной, но в моменты времени , , … называется уравнением ав­торегрессии.

В практике прогнозирования наиболее часто применяются уравне­ния авторегрессии в линейной форме. В зависимости от количества элементов, включенных в правую часть, уравнения авторегрессии классифицируются на уравнения 1, 2–го и более высокого порядка.

Примеры подобных уравнений приведены ниже:

 

, (6.1)

 

, (6.2)

 

, (6.3)

 

Общим условием, благодаря которому можно применять метод авторегрессии в прогнозировании, является наличие статистической связи между соседними уровнями динамического ряда. Такое взаимо­действие элементов динамического ряда представляет частный случай корреляционной зависимости и называется автокорреляцией.

Расчёт прогнозов на основе авторегрессионных моделей выполняется по сле­дующему алгоритму:

1) устанавливают порядок уравнения авторегрессии;

2) рассчитывают параметры выбранной модели авторегрессии;

3) определяют прогноз признака и оценивают его точность.

Прежде чем приступить к определению порядка уравнения авторегрессии, необходимо выявить наличие или отсутствие автокорреляции между элементами, отстоящими друг от друга на различные периоды запаздывания. При наличии автокорреляции попутно устанавливается и ее форма. Для отработки данного вопроса на координатное поле наносят пары значений разных элементов:

 

; ; …; , (6.4)

 

Интервалы времени , где изменяется в пределах , характеризуют удаленность сравниваемых уравне­ний динамического ряда и называются продолжительностью запазды­вания.

Период запаздывания показывает промежуток времени, че­рез который переменные ; ; … окажут воз­действие на переменную .

По характеру распределения точек на координатном поле, уста­навливают между какими элементами ряда действует корреляционная связь. Автокорреляционное взаимодействие элементов динамического ряда по мере увеличения продолжительности периодов запаздывания уменьшается, разброс точек на координатном поле возрастает. Оцен­ка уровня тесноты автокорреляционной связи выполняется по коэф­фициенту автокорреляции , расчет которого выполняют по формуле:

 

, (6.5)

где – коэффициент автоковариации;

– общая дисперсия ряда.

Перечисленные составляющие при расчете коэффициента автокорреляции рассчитывают по формулам:

 

, (6.6)

 

, (6.7)

 

где – значения элементов ряда;

– значения элементов ряда, смещенных относительно точки на

периодов запаздывания;

– среднее значение признака;

– число элементов ряда.

Среднее значение признака рассчитывается по формуле простой среднеарифметической величины:

 

, (6.8)

 

Рассчитав, несколько коэффициентов автокорреляция, проранжировав их в зависимости от увеличения периодов запаздывания , можно получить автокорреляционную функцию. Автокорреляционная функция, как нетрудно догадаться, характеризует зависимость коэф­фициентов автокорреляции от продолжительности периодов запаздыва­ния . С помощью этой функции выполняется качествен­ная оценка порядка уравнения авторегрессии. Автокорреляционную функцию, как правило, исследуют в следующем интервале области ис­следования .

Для окончательного определения порядка уравнения авторегрессионной функции применяется частная автокорреляционная функция. Ис­пользование этой функции основано на признании того факта, что ко­эффициенты авторегрессии принимают лишь в начале последова­тельности ненулевые значения. Коэффициенты авторегрессии более вы­сокого порядка стремятся к нулю , подтверждая тем самым снижение степени влияния более отдалённых элементов от точки на функцию .

Введем двойные подстрочные индексы коэффициентам авторегрес­сии, которые показывают:

1) первый – общее число включенных в уравне­ние коэффициентов авторегресии;

2) второй – порядковый номер коэф­фициента авторегрессии в уравнении.

После подобных преобразований система уравнений имеет следующий вид:

, (6.9)

 

, (6.10)

 

, (6.11)

 

По мере увеличения порядка уравнения авторегрессии абсолют­ная величина коэффициента авторегрессии уменьшается.

Зави­симость коэффициентов авторегрессии от периодов запаздывания называется частной автокорреляционной функцией.

Порядок уравнения авторегрессии с помощью частной автокорреляционной функции устанавливают следующим образом:

– рассчитывают коэффициенты авторегрессии с разными периодами запаздывания;

– ранжируют коэффициенты авторегрессии в порядке возрастания периодов запаздывания ;

– анализируют значения коэффициентов авторегрессии по мере роста периодов запаздывания.

Коэффициент авторегрессии, существенно отличающийся от нуля, определяет порядок уравнения авторегрессии.

Коэффициенты авторегрессии можно рассчитывать одним из спо­собов: методом наименьших квадратов или приближенным методом.

Первый способ более подробно будет рассмотрен ниже, рассмотрим второй.

По второму способу расчеты ведутся с применением ряда фор­мул:

 

Для , (6.12)

 

, (6.13)

 

Предположим, что на основе анализа частной автокорреляционной функции был установлен порядок уравнения авторегрессии, равный трем.

 

, (6.14)

После определения порядка уравнения авторегрессии необходимо рассчитать его параметры. На примере модели (14) рассмотрим порядок расчета параметров способом наименьших квадратов, предусматривающий построение и решение системы нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений для модели (6.14) имеет следующий вид:

, (6.15)

После нахождения параметров прогнозирующей функции и записи ее в конкретном виде приступают к расчету прогнозов в несколько этапов:

– на первом этапе рассчитывают значение переменной для вре­мени.

Для этого в уравнение авторегрессии необходимо подста­вить такое количество последних элементов динамического ряда, кото­рое равно порядку авторегрессионной модели;

– на втором этапе рассчитывают значение признака на момент времени : при ; и т.д.

Для оценки точности прогноза можно использовать ряд статисти­ческих показателей. Наибольшее распространение получил показатель абсолютного среднего отклонения , расчет которого выполняют по формуле:

, (6.16)

где , – соответственно значения исходных и расчетных эле­ментов

ряда;

– количество элементов ряда;

– порядок прогнозирующего уравнения авторегрессии;

– период упреждения, на который рассчитывается прогноз.

Вычисления для предпрогнозного периода осуществляют путем сопоставления исходных и расчетных значений элементов ряда, используя при этом формулу

,