Примеры с решениями. Пример. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тысПример. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов
Требуется: 1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат. 2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. 3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации. 4. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации 5. С помощью частных F -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора 6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор. Решение: Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a,
либо воспользоваться готовыми формулами:
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
Находим
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты
Т.е. стандартизованное уравнение будет выглядеть следующим образом:
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации. Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
Вычисляем:
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0, 61% или 0, 20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора 2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии. При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи. Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Коэффициент множественной корреляции
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом. 3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации Скорректированный коэффициент множественной детерминации
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи
В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:
Получили, что 5. С помощью частных F -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора
Найдем
Имеем
Получили, что Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения 6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами
|
(
от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих 
(
.
;
;
.
, 
:
; 
; 
.
;
;
.
;
;
.
.
и 
стандартизованного уравнения регрессии 
находятся по формулам:
;
.
.
.
; 
.
; 
; 
.
. При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
;
.
,
.
.
;
;
.
оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94, 7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.
) детерминированность результата y в модели факторами 
дает F -критерий Фишера:
.
.
(при 
), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 
. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи 
;
.
и 
.
;
.
;
.
. Следовательно, включение в модель фактора 
, т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта 
. Следовательно, значение частного F -критерия для дополнительно включенного фактора 
, 
.
