Основные теоретические положения. В закрытых регулярных линиях передачи с идеально проводящими стенками могут распространяться независимо друг от друга -волны ( )

В закрытых регулярных линиях передачи с идеально проводящими стенками могут распространяться независимо друг от друга -волны (), -волны () и -волны (). Предполагается, что ось обобщенно-цилиндрической системы координат , , совпадает с продольной осью волновода (рис. 1.1). При этом -волны могут распространяться только в многосвязных линиях передачи. Их можно рассматривать как частный случай - или -волн.

Исходные уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле в пространстве между проводниками, не содержащем свободных зарядов, имеют вид:

Для описания электромагнитного поля - и -волн используется электрический вектор Герца , а поля -волн – магнитный вектор Герца , где – единичный вектор (орт) оси z. Эти векторные величины ориентированны по оси . Для решения системы уравнений Максвелла представим скалярные функции и в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от поперечных координат и , а другая – только от продольной координаты :

Функции и удовлетворяют уравнениям:

и граничным условиям для -волн, для -волн и для -волн:

Эти условия должны выполняться на контуре поперечного сечения линии передачи. В приведенных выражениях и – поперечное и продольное волновые числа, определяемые параметрами линии передачи, и производные по касательной и нормали к контуру поперечного сечения волновода (рис. 2.1).

Электромагнитное поле волны связано с функциями и следующими соотношениями:

– для - и волн

– для -волн

В этих формулах – характеристическое сопротивление заполняющей волновод среды; и – ее абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости,

– волновое число, – критическое волновое число (поперечная постоянная распространения) E - (H -) волн, – продольное волновое число (продольная постоянная распространения) волны. Поперечная постоянная распространения -волн

В настоящей лабораторной работе исследуются волны в прямоугольном (а), круглом (б) и коаксиальном (в) волноводах с воздушным заполнением (рис. 1.2).

Решения уравнения с граничными условиями (2.3)–(2.5) для этих волноводов имеют вид:

– для прямоугольного волновода

где . Для -волн один из индексов может быть равен нулю.

Решение уравнения (2.1) для круглого и коаксиального волноводов естественно проводить в цилиндрических координатах методом разделения переменных. При этом возникают дифференциальные уравнения специального типа – уравнения Бесселя. Решения таких дифференциальных уравнений называют цилиндрическими функциями, частный случай которых – функции Бесселя. В данном случае решения уравнения имеют вид:

– для круглого волновода

где .

– для коаксиального волновода

где .

 

В выражениях (2.11) – (2.15) и – функции Бесселя первого и второго рода порядка , и – корни уравнений и соответственно, а числа и – корни уравнений и . Штрих означает дифференцирование функции по ее аргументу. Таблицы значений указанных корней для некоторых значений и приведены в табл. 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1

	2, 405	5, 520	8, 654	3, 832	7, 016	10, 174
	3, 862	7, 016	10, 174	1, 840	5, 335	6, 705
	5, 135	8, 417	11, 620	3, 054	6, 705	9, 969
	6, 380	9, 761	13, 016	4, 201	8, 015	11, 346

Таблица 2.2

	3, 095	3, 272
	3, 272	2, 136
	3, 740	3, 910

 

Таким образом, в любом волноводе могут распространяться независимо друг от друга бесконечное количество типов волн (волновых мод), отличающихся структурой электромагнитного поля.

Следует отметить, что физический смысл целочисленных переменных и заключается в том, что их значение указывает количество изменений знака поля вдоль соответствующих осей выбранной системы координат в пределах физического размера линии передачи по данной оси. При рассмотрении картины электрического поля необходимо учитывать, что касательная составляющая электрического поля на идеально проводящей поверхности равна нулю. Для вычисления поля данного типа волны необходимо подставить соответствующее выражение для мембранной функции в выражения (2.6) и (2.7).

Поперечные (критические) волновые числа в волноводах определяются следующими формулами:

– для прямоугольного волновода (совпадают для - и -волн):

– для круглого волновода:

– для коаксиального волновода:

Зная критическое волновое число (2.16)–(2.18) для данного волновода, можно определить критическую длину волны и критическую частоту выбранного типа волны:

где – показатель преломления (оптическая плотность) среды, заполняющей волновод. Для воздуха .

Решение уравнения (2.2) имеет вид:

где коэффициенты и определяются по граничным условиям на концах отрезка волновода.

При этом, как следует из данного решения, первый член описывает бегущую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси , а второй – волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

Продольное волновое число (постоянная распространения) для общего случая можно представить в виде , где – постоянная фазы и – постоянная затухания. Постоянные фазы и затухания являются действительными числами. Продольное волновое число определяет скорость распространения волны в волноводе и быстроту уменьшения ее амплитуды по мере распространения: , где – значение амплитуды волны при .

Фазовая скорость волны определяется выражением:

С фазовой скоростью связана длина волны в волноводе :

где – длина волна в свободном пространстве. Если , то фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называется дисперсией волн в линиях передачи.

Групповая скорость также связана с частотой и постоянной фазы. Если критическое волновое число не зависит от частоты

При отсутствии дисперсии или ее малости () групповая скорость имеет смысл скорости распространения сигнала, т. е. группы волн с близкими частотами.

Скорость переноса энергии в волне определяется потоком энергии (мощностью) через поперечное сечение линии передачи и энергией , запасенной в единице ее длины:

где и – поперечные составляющие электрического и магнитного полей данного типа волны. Если затухание в линии передачи отсутствует или мало , то справедливо равенство .

Из формул (2.21) и (2.22) следует, что распространение волны определенного типа в линии передачи возможно только в том случае, если частота возбуждения этого типа волны превышает критическую частоту этой волны для данной линии передачи . Тип волны (мода), имеющий наименьшее для данного волновода значение критической частоты , называется основным, а остальные типы волн – высшими. Рабочим диапазоном частот волновода называется интервал частот , где – критическая частота ближайшего к основному типа волны в порядке возрастания критических частот.

Зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты удобно исследовать с помощью дисперсионных характеристик, представляющих собой графики зависимости волнового числа в свободном пространстве (вакууме) от постоянной фазы или замедления (параметра замедления) от длины волны в свободном пространстве .

Из формул (2.20) и (2.22) следует также, что для рассматриваемых волноводов выполняется условие .

Замедление групповой скорости определяется выражением

Приведенные соотношения позволяют использовать дисперсионные характеристики для графического определения фазовой и групповой скоростей. На графиках дисперсионных характеристик первого вида (диаграммах Бриллуэна (рис. 2.3, а)) замедление фазовой скорости определяется как тангенс угла наклона секущей к дисперсионной кривой в точке с заданным значением волнового числа , а замедление групповой скорости, определяется как тангенс угла наклона касательной к дисперсионной кривой в точке с заданным значением .

На дисперсионной характеристике второго вида (рис. 2.3, б) замедление фазовой скорости для данной длины волны определяется непосредственно по графику, а замедление групповой скорости – как ордината точки пересечения вертикальной оси с касательной к дисперсионной кривой в точке с заданным значением . Дисперсионные характеристики обоих видов строятся с помощью формулы (2.8), при этом полагается .

Постоянную затухания можно представить в виде суммы: , где – составляющая, обусловленная потерями в среде, заполняющей линию передачи; – составляющая, обусловленная потерями в металле стенок. В волноводах с воздушным заполнением . Для определения обычно используют приближенный метод, называемый энергетическим, а соответствии с которым

где – мощность потерь в стенках волновода на единице его длины; – мощность, поступающая на вход волновода. При этом и вычисляются в предположении, что распределение электромагнитного поля в волноводе с потерями совпадает с распределением поля в волноводе с идеально проводящими стенками, которое описывается формулами (2.6), (2.7) и (2.10) – (2.15).. Проведя соответствующие вычисления, найдем

– для - и -волн:

– для -волн:

В этих выражениях – поверхностное сопротивление стенок волновода; и – электропроводность и магнитная проницаемость стенок (для меди , См/м); – коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности стенок волновода; – среднеарифметическая высота неровностей профиля стенки; – глубина проникновения поля в материал стенок.

Зависимости потерь в металле стенок от частоты для волн типов , , и показаны на рис. 2.4 (кривые 1, 2, 3, соответственно). При приближении частоты к критической, постоянная затухания всех типов волн стремится к бесконечности. При этом энергетический метод расчета постоянной затухания оказывается неприменимым, т. е. в окрестности критической частоты формулами (2.23), (2.24) пользоваться нельзя. Соответствующие участки кривых показаны на графиках пунктиром. На высоких частотах постоянная затухания всех типов волн возрастает пропорционально квадратному корню из частоты: . Исключение составляют волны в круглом волноводе, для которых , в частности, волны типа . Постоянная затухания этих типов волн при возрастании
частоты стремится к нулю.

Возбуждение волн в волноводах производится помощью элементов возбуждение (связи) – штырей (рис. 2.5, а), петель (рис. 2.5, б) и отверстий (щелей) (рис. 2.5, в).

Волна необходимого типа возбуждается с максимальной амплитудой, если штырь находится в максимуме составлявшей электрического поля, параллельной штырю.

Максимальная интенсивность возбуждения петлей наблюдается, когда плоскость петли расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля волны, а петля находится в максимуме магнитного поля, т. е. когда поток магнитной индукции через петлю максимален. Волна данного типа не возбуждается, если в месте расположения элемента связи отсутствует перпендикулярная петле составляющая магнитного поля волны. В соответствии с теоремой взаимности устройства возбуждения могут быть использованы и для отбора энергии из волновода, при этом условия максимального отбора энергии совпадают с условиями максимального возбуждения.

Отверстия (щели) возбуждают волну данного типа с максимальной интенсивностью, если линии поверхностного тока волны пересекают отверстие. Это условие означает, что щель должна быть параллельна силовым линиям магнитного поля волны, перпендикулярна касательной составляющей электрического поля и расположена в максимуме этого поля.