Общее уравнение прямой линии

Общее уравнение прямой линии имеет вид А х +В у +С=0, где А, В, С R.Другая форма записи (нормализованное уравнение) у =к х +b, где к= - , b= - . Отметим, что к=tg , где - угол наклона прямой к оси Х. Придавая нулевые значения коэффициентам, получим варианты общего уравнения: А=0: В у +С= 0 или у =b - прямая, параллельная оси оХ; В=0: А х +С=0 или х = - - прямая, параллельная оси оY; С=0: А х +В у =0 или у =к х - прямая проходит через начало координат; А=В=С=0 - вырождение прямой.

 

Таким образом, всякое невырожденное уравнение первой степени А х +В у +С=0 при является уравнением прямой линии на плоскости.

Если на плоскости имеются две прямые А₁ х +В₁ у +С₁=0 и А₂ х +В₂ у +С₂=0, то их взаимодействие описывается четырьмя случаями:

1. Точка пересечения прямых определится из системы уравнений:

или .

2. Если прямые параллельны, то соблюдается условие:

к₁=к_2.

3. Если прямые перпендикулярны, то соблюдается условие:

А₁А₂+В₁В₂=0 или .

4. Угол между прямыми определится из условия:

tg = или tg = .

Здесь знак модуля взят для обеспечения положительного результата.

Варианты уравнения прямой

На практике часто встречаются случаи, когда надо получить уравнение прямой не только с помощью приведенных выше общего и нормализованного уравнений. Рассмотрим некоторые такие случаи.

1. Известно, что прямая образует с оХ угол и проходит через известную точку М(а; b). Найти уравнение (прямая через точку по заданному направлению). Так как известно, то к=tg . Тогда уравнение прямой Это уравнение легко преобразуется в уже известные формы записи.

Из прямоугольного треугольника MNP определяем Тогда

2. Известны точки М(а; b) и N(c; d). Найти уравнение проведенной через них прямой (прямая через две точки).

После преобразования получим

= .

Если а=с или b =d, то следует использовать другую форму записи:

(х-а)(d-b)=(y-b)(c-a).

Искомое уравнение имеет вид . Отметим, что, если прямая параллельна оси оХ или оY, то такое уравнение составить нельзя - нет отрезка.

3. Известны отрезки а и b, которые прямая отсекает от осей координат. Найти уравнение этой прямой (уравнение прямой в отрезках).