Исследование функций двух переменных

на экстремум

4.1. Максимум и минимум функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) и непрерывна в этой точке. Если существует окрестность точки (х ₀, у ₀), в которой f (x, y)< f (х ₀, у ₀), то эта точка называется точкой максимума данной функции; если существует окрестность точки (х ₀, у ₀), в которой f (x, y)> f (х ₀, у ₀), то эта точка называется точкой минимума данной функции. Если (х ₀, у ₀) – точка максимума или точка минимума, то она называется точкой экстремума.

Примеры. 1)Пусть f (x, y)=(х –2)²+(у +1)². Тогда f (2, –1)=0, а во всех других точках f (x, y)> 0. Значит, (2, –1) – точка минимума данной функции.

2)Пусть f (x, y)=0, 5–sin(х ²+ у ²). Тогда f (0, 0)=0, 5. Если же 0< х ²+ у ²< , то f (x, y)< 0, 5. Мы нашли окрестность точки (0; 0), в которой f (x, y)< f (0, 0). Значит, (0, 0) – точка максимума данной функции.·

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если (х ₀, у ₀) – точка экстремума функции f (x, y), дифференцируемой в (х ₀, у ₀), то в этой точке = =0.

Доказательство. Рассмотрим функцию u (x)= f (x, y ₀). Тогда х ₀ – точка экстремума этой функции, значит, u¢ (x ₀)=0. Это означает, что f_x ¢ (х ₀, у ₀)=0. Аналогично получим, что f_у ¢ (х ₀, у ₀)=0. Теорема доказана.

Примеры. 1)Пусть f (x, y)=(х –2)²+(у +1)². В предыдущем примере мы видели, что (2, –1) – точка минимума этой функции. В этой точке =2 х –4=0 и =2 у +2=0. 2)Пусть f (x, y)=0, 5–sin(х ²+ у ²). В предыдущем примере мы видели, что (0, 0) – точка максимума этой функции. В этой точке =–2 х cos(х ²+ у ²)=0 и = –2 у cos(х ²+ у ²)=0.

3) Пусть f (x, y)= х ²– у ². Тогда =2 х и = –2 у. Обе производные равны нулю в точке (0; 0). Но эта точка не является точкой экстремума. Действительно, f (0, 0)=0. Возьмем произвольную e-окрестность точки (0, 0). Тогда в этой окрестности находятся точки (0, 5e; 0) и (0; 0, 5e); f (0, 5e; 0)=0, 25e²> 0, f (0; 0, 5e)= –0, 25e²< 0. Значит, в любой окрестности точки (0, 0) есть точки, в которых f (x, y)> f (х ₀, у ₀) (поэтому (0, 0) – не точка максимума), и точки, в которых f (x, y)< f (х ₀, у ₀) (поэтому (0, 0) – не точка минимума). Таким образом, хотя в точке (0, 0) частные производные равны нулю, она не является точкой экстремума. Это значит, что условие равенства нулю частных производных является хотя и необходимым, но не достаточным условием экстремума. ·

Достаточное условие экстремума примем без доказательства.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x, y) имеет в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) непрерывные частные производные второго порядка. Пусть f_х ¢ (х ₀, у ₀)= f_у ¢ (х ₀, у ₀)=0. Обозначим А= f_xх ¢ ¢ (х ₀, у ₀), В= f_xу ¢ ¢ (х ₀, у ₀), С= f_уу ¢ ¢ (х ₀, у ₀), D=АС–В². Тогда, если D> 0 и А< 0, то (х ₀, у ₀) – точка максимума; если D> 0 и А> 0, то (х ₀, у ₀) – точка минимума; если D< 0, то (х ₀, у ₀) не является точкой экстремума.

Замечание. Если D=0, то сделать вывод о наличии экстремума нельзя; требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим примеры исследования функции двух переменных на экстремум.

Примеры. 1)Пусть f (x, y)= х ³+ у ³–3 ху. Тогда f_x ¢ (x, y)=3 х ²–3 у, f_у ¢ (x, y)=3 у ²–3 х. Система 3 х ²–3 у =0, 3 у ²–3 х =0 имеет два решения: (0, 0) и (1, 1). f_xх ¢ ¢ (х, у)=6 х, f_xу ¢ ¢ (х, у)= –3, f_уу ¢ ¢ (х, у)=6 у.

В точке (0, 0) имеем: А=0, В = –3, С=0, D= –9< 0. По теореме 2 точка (0, 0) не является точкой экстремума.

В точке (1, 1) имеем: А=6> 0, В = –3, С=6, D=27> 0. По теореме 2 точка (1, 1) является точкой минимума.

Итак, данная функция имеет одну точку экстремума.

2)Пусть f (x, y)= х ²– у ². Тогда f_x ¢ (x, y)=2 х, f_у ¢ (x, y)= –2 у. Система 2 х =0, –2 у =0 имеет одно решение: (0, 0). f_xх ¢ ¢ (х, у)=2, f_xу ¢ ¢ (х, у)= 0, f_уу ¢ ¢ (х, у)= –2.

В точке (0, 0) имеем: А=2, В=0, С= –2, D= –4< 0. По теореме 2 точка (0, 0) не является точкой экстремума.

Итак, данная функция не имеет точек экстремума.·

4.2. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции двух переменных

на замкнутом ограниченном множестве

Как известно, если функция одной переменной непрерывна на отрезке, то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. То же относится и к функции двух переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном подмножестве плоскости. Если функция дифференцируема, то ее наибольшее и наименьшее значения можно найти следующим образом.

1)Находим внутренние точки данного множества, в которых частные производные функции равны нулю, и значения функции в этих точках.

2)Находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе данного множества.

3)Сравниваем значения, найденные в первом и втором пунктах, и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y)= х ³+ у ³–3 ху на трапеции, ограниченной прямыми: х = –1, х =2, у = –1, у =3– х.

В предыдущем пункте мы нашли точки, в которых частные производные данной функции равны нулю: (0, 0) и (1, 1). Обе эти точки лежат внутри трапеции. Значения функции в этих точках равны 0 и –1.

Граница трапеции состоит из четырех отрезков: АВ, ВС, СD и DА, – где А(–1, 4), В(2, 1), С(2, –1), D(–1, –1).

На отрезке АВ имеем: f (x, y)= х ³+(3– х)³–3 х (3– х)=12 х ²–36 х +27, –1£ х £ 2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1; 2] равны соответственно 75 (при х = –1) и 0 (при х =1, 5).

На отрезке ВС имеем: f (x, y)=8+ у ³–6 у, –1£ у £ 1. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1; 1] равны соответственно 13 (при у = –1) и 3 (при у =1).

На отрезке СD имеем: f (x, y)= х ³–1+3 х, –1£ х £ 2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1; 2] равны соответственно 13 (при х =2) и –5 (при х = –1).

На отрезке DA имеем: f (x, y)= –1+ у ³+3 у, –1£ у £ 4. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1; 4] равны соответственно 75 (при у =4) и –5 (при у = –1).

Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение функции на данном множестве равно 75 (при х = –1, у =4), а наименьшее значение равно –5 (при х = –1, у = –1).·

4.3. Условный экстремум функции двух переменных

Определение 2. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) и непрерывна в этой точке. Пусть точка (х ₀, у ₀) удовлетворяет некоторому уравнению связи j(х, у)=0. Если существует окрестность точки (х ₀, у ₀), в которой для всех (х, у), удовлетворяющих уравнению связи, f (x, y)< f (х ₀, у ₀), то эта точка называется точкой условного максимума данной функции; аналогично определяется точка условного минимума. Если (х ₀, у ₀) – точка условного максимума или условного минимума, то она называется точкой условного экстремума.

Примем без доказательства следующие теоремы об условном экстремуме.

Теорема 3 (необходимое условие условного экстремума). Пусть (х ₀, у ₀) – точка условного экстремума функции f (x, y), дифференцируемой в (х ₀, у ₀), при уравнении связи j(х, у)=0. Тогда существует такое число l, что F _х ¢ (х ₀, у ₀, l)= F _у ¢ (х ₀, у ₀, l)=0, где F(х, у, l)= f (x, y)–lj(х, у) – так называемая функция Лагранжа.

Теорема 4 (достаточное условие условного экстремума). Пусть для функции f (x, y), дифференцируемой в (х ₀, у ₀), j(х ₀, у ₀)=0 и существует такое число l, что F _х ¢ (х ₀, у ₀, l)= F _у ¢ (х ₀, у ₀, l)=0, где F(х, у, l) – функция Лагранжа. Пусть D=F _хх ¢ ¢ (х ₀, у ₀, l)(j _у ¢ (х ₀, у ₀))²–2F _ху ¢ ¢ (х ₀, у ₀, l)j _х ¢ (х ₀, у ₀)j _у ¢ (х ₀, у ₀)+ F _уу ¢ ¢ (х ₀, у ₀, l)(j _х ¢ (х ₀, у ₀))². Тогда, если D> 0 (соответственно D< 0), то (х ₀, у ₀) – точка условного минимума (соответственно максимума) функции f (x, y) при уравнении связи j(х, у)=0.

Пример. Найдем стороны х и у прямоугольника наибольшей площади, вписанного в окружность радиуса R. Для этого надо найти точку условного максимума функции f (х, у)= ху, если j(х, у)=0, j(х, у)= х ²+ у ²–4R². Функция Лагранжа: F(х, у, l)= ху –l(х ²+ у ²–4R²), F _х ¢ (х, у, l)= у –2l х, F _у ¢ (х, у, l)= х –2l у. Из теоремы 3 следует, что для нахождения точек условного экстремума надо прежде всего найти решения системы: у –2l х =0, х –2l у =0, х ²+ у ²–4R²=0. Решая ее, находим: х ²= у ²=2R². Отсюда получаем стороны прямоугольника: х = у =R – и l=0, 5. Проверим, выполняется ли для точки (R ; R ) условие теоремы 4. Имеем: F _хх ¢ ¢ (х, у, l)=–2l, F _ху ¢ ¢ (х, у, l)=1, F _уу ¢ ¢ (х, у, l)=–2l, j _х ¢ (х, у)=2 х, j _у ¢ (х, у)=2 у. Значит, при х = у =R , l=0, 5 имеем D= –2l(2 у)²–2^.1^.2 х ^.2 у –2l(2 х)² = –8R²–16R²–8R²< 0. По теореме 4 получаем, что (R ; R ) – точка условного максимума. Значит, прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, – квадрат.·