Несобственные интегралы. 7.1.Несобственный интеграл первого рода

7.1.Несобственный интеграл первого рода

 

Определение 1. Пусть для любого с > a функция f (x) интегрируема на отрезке [ a; с ]. Если существует , то он называется несобственным интегралом первого рода функции f (x) и обозначается . В этом случае также говорят, что интеграл сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл первого рода . Если оба интеграла и сходятся, то говорят, что сходится интеграл = + .

Примеры. 1) = = = = .

Аналогично = . А это означает, что тоже сходится и равен p.

2) = = = . Этот предел не существует, поэтому интеграл расходится.

3) = = , если k ¹ 1. Этот предел существует и равен , если k > 1. Если же k < 1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл тоже расходится: = =¥. Итак, интеграл сходится тогда и только тогда, когда k > 1.·

 

7.2.Несобственный интеграл второго рода

 

Определение 2. Пусть функция f (x) не ограничена на отрезке [ a; b ], но для любого e> 0 f (x) интегрируема на отрезке [ a; b –e]. Если существует , то он называется несобственным интегралом второго рода функции f (x) и обозначается . В этом случае также говорят, что интеграл сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если функция f (x) не ограничена на отрезке [ a; b ], но интегрируема на отрезке [ a +e; b ] для любого e> 0.

Примеры. 1) = = = . Аналогично = = = .

Поэтому =p.

2) = + . Каждое слагаемое – несобственный интеграл второго рода. Рассмотрим первый из них: = = == . Аналогично = =

= = . Значит, =

= .

3) = = , если k ¹ 1. Этот предел существует и равен , если k < 1. Если же k > 1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл тоже расходится: = =¥. Итак, интеграл сходится тогда и только тогда, когда k < 1.·

 

7.3.Признаки сходимости несобственных интегралов

 

Примем без доказательства следующие признаки сходимости несобственных интегралов – так называемые признаки сравнения.

1. Пусть для любого с > a функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [ a; с ], причем 0£ f (x)£ g (x) при х ³ a. Тогда, если интеграл сходится, то и интеграл сходится, а если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

2. Пусть для любого с > a функции f (x) и g (x) положительны и интегрируемы на отрезке [ a; с ]. Если существует ¹ 0, то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 1. Если существует ¹ 0, то интеграл сходится тогда и только тогда, когда k > 1.

3. Пусть для любого e> 0 функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [ a; b –e], причем 0£ f (x)£ g (x) при a £ х < b. Тогда, если интеграл сходится, то и интеграл сходится, а если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

4. Пусть для любого e> 0 функции f (x) и g (x) положительны и интегрируемы на отрезке [ a; b –e]. Если существует ¹ 0, то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 2. Если существует ¹ 0, то интеграл сходится тогда и только тогда, когда k < 1.

Примеры. 1) Рассмотрим . Поскольку

0< < при x ³ 1, а интеграл сходится (так как

показатель 10 больше 1), то по первому признаку сравнения исходный интеграл сходится.

2) Рассмотрим . Поскольку при x ®0 подынтегральная функция эквивалентна дроби , то есть эквивалентна дроби = , а интеграл сходится (так как показатель меньше 1), то по четвертому признаку сравнения исходный интеграл сходится.

3) Рассмотрим . Если 0£ х < 1, то 0£ £ £ . Интеграл = – сходится (так как показатель меньше 1). Значит, по третьему признаку сравнения исходный интеграл сходится.

4) Рассмотрим . Поскольку при x ®¥ подынтегральная функция эквивалентна дроби , а интеграл расходится, то по второму признаку сравнения исходный интеграл расходится.·