Студопедия — Векторное поле
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Векторное поле






5.1.Поток векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М). В этом случае говорят, что в этой области пространства задано векторное поле (или вектор-функция точки).

Поверхностный интеграл I рода по поверхности S от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности называют потоком поля через поверхность.

Таким образом, поток К векторного поля а через поверхность S вычисляется по формуле: К = . Заметим, что подынтегральная функция равна проекции вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. Используя связь поверхностных интегралов I и II рода, поток можно записать в виде: К = , где P, Q, R – проекции вектора поля на координатные оси.

Пример. Найдем поток векторного поля a = z ix j + y k через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости 3 х +6 у –2 z –6=0 с координатными плоскостями.

К = = .

Для данной плоскости орт нормали n = ±(; ; – ). Так как на верхней стороне плоскости он образует с осью O z острый угол, то выбираем n = (– ; – ; ). Тогда два первые слагаемые нужно брать с минусом, а последнее – с плюсом. Окончательно получаем:

К = , где области интегрирования – проекции треугольника на соответствующие координатные плоскости. ; ; .

Итак, К = + 2 + =

 

5.2. Дивергенция векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Дивергенцией такого векторного поля в точке М называется число div a (M) = .

Используя понятие дивергенции, можно переписать формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме: = , – поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении «изнутри» равен интегралу дивергенции этого поля по объему, ограниченному данной поверхностью.

 

5.3. Циркуляция векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Выберем в этой области гладкую замкнутую кривую L. Циркуляцией векторного поля вдоль контура L называется число C= .

Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля a =(x –2 z) i +(x +3 y + z) j +(5 x + y) k вдоль контура треугольника с вершинами А(1; 0; 1), В(0; 1; 0) и С(0; 0; 1).

C= =

= + + .

На отрезке АВ х + у =1, z =0, поэтому

= . Аналогично = – и = –3. Отсюда С = –3.·

5.4. Ротор векторного поля

 

Пусть каждой точке М(x, y, z) некоторой области пространства соответствует вектор а (М)={P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z)}. Ротором векторного поля в точке М называется вектор rot a (M) = . Удобно записывать ротор в виде определителя:

rot a (M) = .

Используя понятия циркуляции и ротора, можно переписать формулу Стокса в векторной форме: = , – поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции этого поля вдоль контура, ограничивающего данную поверхность. Контур обходится при этом в положительном направлении.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М. Наука. 1969 г.
  2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М. Наука. 1973 г.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Части 1, 2. М. Высшая школа. 1981 г.
  4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М. Высшая школа. 1983 г.

 

Св. план г., поз.

 

Арутюнян Елена Бабкеновна

 

Математика

Часть 3

 

Учебное пособие

 

___________________________________________

 

Подписано в печать Тираж – 100 экз.

Усл.-печ. л. – Формат

Заказ

_____________________________________________________________

 

127994, Москва, ул. Образцова, д.9, стр.9.

Типография МИИТа







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1271. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия