Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функции нескольких переменных





Основные понятия

В предыдущих разделах изучались функции одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений 1, х2, ..., хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что заданафункция нескольких переменныхz=f(х12,...,хn). Например, формула задает объем параллелепипеда z как функцию трех переменных: x1 (длины), х2 (ширины) и х3 (высоты).

Переменные х1, х2, ..., хn называютсянезависимыми переменными (илиаргументами), z -зависимой переменной,а символ f означаетзакон соответствия.Множество X называетсяобластью определения функции.

Частный случайфункции двух аргументовопределяется соотношением z=f(x, у). Основное внимание мы уделим именно этому случаю, т.к. функции трех и более переменных легко вводятся по аналогии.

График функции двух переменных z=f(x, у) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Как видно из рисунка, график функции двух переменных - значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается непростой задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Линией уровняфункции двух переменных z=f(x, у) называется множество точек на плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение f(x, y)=С. Число С в этом случае называетсяуровнем.На рисунке показаны сечения функции двумя плоскостями С1 и С2, а также проекции этих сечений на плоскость XoY. Эти проекции изображаются на отдельном чертеже и являются линиями уровня.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм - линий уровня температуры. Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.

Все определения и большая часть понятий анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай многих переменных без существенных изменений. Несколько увеличивается объем формул, т.к. надо учитывать несколько аргументов. Проиллюстрируем сказанное на примере классического определения предела функции.

Число А называетсяпределомфункцииz=f(x, у) при и (или в точке M0), если для любого, сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число , такое, что для всех точек M(х, у), отстоящих от точки M00, у0) на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .






Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 302. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.026 сек.) русская версия | украинская версия