Градиент функции двух переменных

Для анализа направления изменения функции двух переменных в пространстве весьма полезной является векторная характеристика – градиент. Градиентом (или вектор - градиентом) функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции:

.

Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки M0(x0, y0). Построим в ней градиент. Задаем направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассмотрим близкую точку M1(x1, y1) и построим градиент в ней. Продолжая этот процесс, можно (с определенной погрешностью) построить линии уровня.

Здесь Ñ - обозначение градиента (оператор Гамильтона " набла "). Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Зная градиент функции в нескольких точках, можно, по крайней мере, локально, строить линии уровня функции на основе следующей теоремы: пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня (точнее, касательной к линии уровня), проходящей через данную точку.

Как и в случае обычных векторов, длину (или модуль) вектора – градиента можно определить в каждой точке по формуле

Модуль градиента – величина максимальной скорости изменения функции в данной точке по направлению, показываемому вектором – градиентом.