Б. Математика

При описании содержания экспериментального учебного предмета по математике мы сосредоточим внимание на той его особенности, которая связана с развертыванием учебного материала по принципу восхождения мысли от абстрактного к конкретному.

Основная задача школьного учебного предмета математики состоит в том, чтобы привести учащихся «к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа». Основы этой концепции должны, на наш взгляд, усваиваться детьми уже в начальной школе. Это означает, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием является математическое понятие величины.

Многообразие чисел, объединенных концепцией действительного числа, является конкретизацией понятия величины.

Усвоение детьми концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения ее общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть освоены детьми на основе конкретизации этих свойств. В таком случае идея действительного числа будет присутствовать в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано с отношением «равно», «больше», «меньше». Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. В качестве примера математической величины В.Ф.Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину. Совокупность дробей также претворяется в величину, а правильное установление критериев сравнения для множества иррациональных чисел (для претворения его в величину) составляет основу современного построения анализа.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т.д. (еще же при их выражении числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в 1 классе.

В основу экспериментального обучения математике (так же как и в основу принятого курса) положена концепция действительного числа. Однако в отличие от обычной программы в экспериментальном обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения реального учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач, составленных применительно к младшим классам:

1) введение детей в сферу отношений величин - формирование у детей абстрактного понятия математической величины;

2) раскрытие детям кратного отношения величин как общей формы числа - формирование у детей абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);

3) последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) - формирование у детей понятий об этих числах как проявления общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

4) раскрытие детям однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемента) - формирование у детей понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.

Дадим краткую характеристику содержания перечисленных учебных задач. Так, первая задача требует от детей выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов (равно, больше, меньше). Затем эти отношений дети фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде».

Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), дети в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение детьми общей формой числа посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая - в качестве, ее меры (состав и особенности учебных действий детей при усвоении ими этой формы числа приведены выше - при их выполнении дети, выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения).

При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от детей использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании детьми этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной, если это отношение будет десятикратным. Так в 1 классе вводится понятие многозначного числа.

Однако в некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к укрупнению ее (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяет им при выполнении действия измерения обозначить его результаты с помощью положительного или отрицательного числа (соответствующая работа проводится уже в III классе).

Переход детей от изучения общих свойств величины к выведению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, позиционного, дробного, отрицательного и т.д.) - это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем, от этой линии осуществляются многообразные ответвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяемых отношений могут служить основой для построения новых понятий. Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения и изучения его свойств к выведению возможных частных следствий.

При решении первоклассниками учебной задачи, приводящем их к пониманию взаимосвязи элементов арифметических действий сложения и вычитания, дети сначала знакомятся с соответствующими операциями над величинами, фиксируя их пространственно-графическими схемами и буквенными формулами. Затем при построении отрезков дети выясняют такое свойство операции, как однозначность ее структуры, что приводит к следующему следствию: если известны значения двух элементов операции, то по ним всегда и однозначно можно определить значение третьего элемента. Это позволяет построить на основе заданного равенства несколько видов уравнений (дети устанавливают, что количество таких уравнений равно количеству элементов, включенных в равенство,

х + а = с; а + х = с; с - а = х).

По этим уравнениям какую-либо исходную текстовую сюжетную ситуацию дети преобразуют в соответствующее количество так называемых текстовых задач.

Текстовые задачи строятся детьми как частные случаи выражения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в I классе появляются простые задачи на сложение-вычитание, а во II - на умножение-деление. Составные задачи (которые требуют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во II классе из простых задач при замене буквы, обозначающей известное данное, буквенным выражением, описывающим операцию дополнительного поиска значения этого данного.

Формированию у учащихся анализа составных текстовых задач основное внимание уделяется нами в III классе. При этом дети овладевают способами построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается). Введение в III классе отрицательных чисел позволяет учащимся применять алгебраический способ решения задач (на основе построения уравнений с проведением последующих тождественных преобразований).

Формирование умений и навыков различных вычислений происходит на основе предварительного усвоения детьми общих закономерностей и общих свойств тех или иных арифметических операций. В общем же виде дети предварительно рассматривают возможность их использования при вычислениях разного рода и только затем приступают к выполнению конкретных заданий на вычисления. Усвоение детьми вычислительных приемов происходит с помощью так называемых тренировочных листов, которые построены таким образом, что сначала требуют от учащихся полного, развернутого выполнения всех операций вычислительного приема, а затем обеспечивают постепенное свертывание вычислений и непроизвольное запоминание их табличных случаев.

Экспериментальная программа по математике включает изучение элементов геометрии. Когда это возможно, геометрический материал связывается с изучением чисел и арифметических действий. Напротив, задача на нахождение периметра прямоугольника рассматривается в связи с изучением распределительного свойства умножения относительно суммы (II класс). На уроках про водятся и собственно геометрические упражнения. На основе вычерчивания, вырезания, моделирования дети учатся распознавать геометрические фигуры, знакомятся с их свойствами. В I классе они получают представление об углах (прямом и непрямом), прямоугольнике (квадрате). Во II классе школьники знакомятся с видами треугольников, учатся делить окружность на равные части. Во II-III классах большое внимание уделяется нахождению периметра фигур, а в III классе их площадей. Решение геометрических задач, связанных с анализом положения и формы фигур, способствует развитию у детей элементарных пространственных представлений и умения рассуждать.

Решение всех перечисленных учебных задач осуществляется детьми посредствам выполнения учебных действий, первое из которых состоит в преобразовании условий задач с целью выделения отношения, являющегося основой общего способа ее решения (например, кратного отношения величин как общей основы понятия чисел). Вторым действием является моделирование выделенного отношения, а третьим - преобразование модели с целью изучения выделенного отношения. Дадим более подробную характеристику третьему учебному действию, выполняемому детьми на математическом материале. Это действие имеет существенное значение в общем процессе усвоения детьми теоретических знаний, поскольку оно позволяет понять детям специфику ориентации в собственно идеальном плане (модель - это предметно-знаковое выражение идеального).

Так, после выполнения измерения и записи соответствующей формулы (А/С=5) тот же объект измеряется детьми с помощью другой меры. При записи результата вновь выполненного действия дети вместе с учителем выясняют целесообразность сохранения прежней буквы для обозначения объекта (А) и изменения буквы (С) для обозначения новой меры. Цифра, записываемая после знака равенства, тоже оказывается иной. В следующей ситуации сохраняется прежняя мера, но изменяется объект - соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра.

Освоение ребенком преобразования модели осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится им после или в процессе манипуляций с предметным материалом. Затем, наоборот, по заданной модели ребенку нужно выполнить соответствующие манипуляции. Например, учитель записывает новую формулу, в которой сохраняется прежнее обозначение измеряемого объекта, но изменяется буква, обозначающая меру. Дети должны произвести соответствующие изменения в предметной ситуации и далее выполнить измерение в новых условиях.

Кроме буквенных моделей важную роль при формировании математических понятий играют пространственно-графические модели. Существенной их особенностью является объединение в них абстрактного смысла с предметной наглядностью. Строго говоря, абстракция математического отношения может быть произведена с помощью одних только буквенных формул. Но в них фиксируются лишь результаты реально или мысленно произведенных действий с объектами, в то время как пространственные изображения (например, в виде абстрактных отрезков или прямоугольников), представляя собой зримую величину (протяженность), позволяет детям производить такие реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать.

Как можно видеть, наше моделирование связанно с наглядностью, которую широко использует традиционная дидактика. Однако в рамках экспериментального обучения наглядность имеет специфическое содержание. В наглядных моделях находят отражение существенные или внутренние отношения и связи объекта, выделенные (абстрагированные) посредством соответствующих преобразований (обычная наглядность фиксирует лишь внешне наблюдаемые свойства вещей).

Отметим, что именно абстрактный материал является адекватным для постановки и решения учебной задачи, связанной с освоением общего способа действия. Вместе с тем справедливо обратное утверждение: абстрактный материал приобретает учебное значение только в ситуациях учебной задачи.

Характерно, что в принятом начальном обучении появление абстрактного материала (частности, буквенной символики) связано с окончанием учебной работы по какому-либо разделу. В экспериментальном же обучении такой материал вводится в самом начале работы. Так, буквенная символика в первом случае служит средством фиксации свойств какого-либо материала, обнаруженных детьми в процессе решения многих конкретных задач. Во втором же случае сравнительно рано вводимый абстрактный материал служит средством «схватывания» детьми оснований предметного действия.

Продолжим рассмотрение третьего учебного действия (преобразование модели) на примере усвоения детьми однозначности структуры математической операции. Так, первоклассникам предлагалось представить в виде отдельных отрезков прямой каждый элемент равенства а + b = с. Выполняя это задание, дети обнаруживают, что размер отрезка, вычерчиваемого последним (а порядок их вычерчивания может быть любым), не может быть взят произвольно, так как он зависит от уже выбранных размеров других отрезков. Таким образом первоклассники выявляют важное свойство математических структур - их однозначность.

Затем дети переходят к рассмотрению конкретных задач особенностей этого свойства. При вычерчивании тех же отрезков они обнаруживают, что когда третий отрезок должен изображать значение целого, то для определения его длины нужно длины уже имеющихся отрезков складывать и наоборот когда третий отрезок выступает в роли части, то приходится из длины отрезка-целого вычитать длину отрезка-произвольно взятой части. Затем учебные ситуации строятся таким образом, что происходит постепенный переход детей от работы с чертежами к описанию действий только с помощью буквенных формул.

В дальнейшем при выполнении четвертого учебного действия дети переходили от рассмотрения общих особенностей указанного свойства математических структур к рассмотрению его частных проявлений. Так, из общего свойства однозначной зависимости элементов математической операции может быть выведено частное следствие, имеющее практическое приложение: если требуется знать числовые характеристики элементов операции, то необходимость в непосредственном счете или измерении возникает только по отношению к двум из них, в то время как третий может быть определен путем выполнения формальных операций со значениями первых двух.

Дети первоначально в общем виде устанавливают все возможности опосредствованного поиска значений компонентов одной и той же операции, что фиксируется ими в процессе замены записи одной формулы исходного равенства (например, а - Ь = с) записями ряда уравнений (х - b = с, а - b = с, а - b = х). Сюжет же, которым задается операция - равенство, трижды превращается (по числу элементов сюжета, а следовательно, по числу возможных уравнений) в текстовую задачу. Тем самым дети сами выводили различные виды простых текстовых задач и простых уравнений.

Переход от общего к частному осуществляется не только в форме сходных абстракций, но путем смены буквенной символики конкретно - числовой. Важно отметить, что такой переход осуществляется как подлинное выведение конкретного из абстрактного на основе выделенных закономерностей. При этом дети первоначально должны выполнить развернутые формы фиксации этого перехода, а затем учатся их свертывать.

Когда ребенок уже овладел принципиальной схемой общего способа предметного действия, необходимого для решения учебной задачи, на первый план выступает учебное действие контроля, основная функция которого состоит в обеспечении, этого способа всеми операциями, необходимыми для успешного решения ребенком всего многообразия конкретно - частных задач. Например, когда ребенок в принципе уже владеет общим способом измерения величин, получая определенный результат, учитель предлагает ему проделать это измерение повторно, меняя при этом какую-либо конкретную операцию измерения с правильной на неправильную (так, один раз при отливании воды можно наполнить меру до краев, в другой раз - частично, один раз при каждом наполнении меры можно называть числительное, в другой раз - не при каждом и т.д.). Выяснение ребенком причин изменения ранее полученного результата при повторном выполнении измерения позволяет ему выделить и усвоить ряд конкретных операций, необходимых для правильного измерения.

С учебным действием контроля тесно связано действие оценки, направленное на выявление готовности ребенка перейти к решению новой учебной задачи, требующей и нового способа решения (оценка определяет, в частности, и сформированность общего способа решения прежней задачи). Поскольку новая задача является новой не полностью, а только в части своих условий, то, выделив с помощью оценки эту часть, дети не только определяют невозможность решения этой задачи прежним способом, но и устанавливают, с чем связано возникшее здесь затруднение. Так как оценка выявляет недостаточность имеющегося общего способам действия, то тем самым она ориентирует ребенка на поиск именно нового общего способа решения возникшей учебной задачи, а не на получение того или иного частного результата от ее решения.

После того как у детей был сформирован общий способ решения учебной задачи, им предлагалось применить его в конкретных условиях частных задач практического характера. Например, дети получали готовый текст конкретной арифметической задачи, включающей отношение целого и частей. Учащиеся сначала фиксировали ее содержание с помощью пространственно-графической схемы или уравнения. Это позволяло им рассматривать данные этой задачи через призму понятий целого и частей и находить правильное решение (в последующем соответствующие данные помечались детьми в качестве целого и частей прямо в тексте задачи и, наконец, учащиеся быстро решали задачу без внешнего обнаружения процесса анализа ее условия). В результате применение детьми общего способа решения различных частных задач происходило «с места».

Эффективность экспериментального учебного предмета по математика оценивалась нами по следующими критериями. Во-первых, за три года обучения в экспериментальных классах дети осваивали весь материал обычной программы плюс к этому большие разделы, связанные со свойствами скалярных и направленных величин, с понятием положительных и отрицательных чисел и операций с ними, а также более основательное, чем это принято, изучение дробного числа, способов построения различных систем счисления и оперирования ими.

Во-вторых, учащиеся экспериментальных классов показывали более высокие результаты, чем учащиеся обычных классов, при выполнении специальных контрольных заданий, предлагаемых им фронтально и индивидуально после прохождения той или иной учебной темы. Применительно к учебному материалу, пригодному для экспериментальной и обычной программы по математике, контрольные работы проводились как в экспериментальных, так и в контрольных классах.

Часть контрольных заданий, требовала от учащихся прямого воспроизведения учебного материала именно в этом виде, в котором появлялся в обучении. С помощью другой части заданий проверялись системность, обобщенность и предметная отнесенность знаний учащихся (результаты некоторых видов проверок представлены в обосновании экспериментального учебного предмета по математике).