Континуальные модели

Атомная структура конденсированной среды часто приводит к осложнениям в математической теории неупорядоченных систем. Такие важные физические характеристики системы, как электронная плотность и масса ядра, сконцентрированы в очень малых областях. Поэтому их трудно описать при помощи линейных комбинаций гладких, делокализованных функций. В ряде случаев на практике выясняется, что «глубокие» внутренние свойства атомов не так уж важны. Эффекты упорядочения, беспорядка замещения или топологического беспорядка возникают скорее благодаря малым вариациям плотности заряда во всем объеме материала, нежели за счет больших и сильно локализованных ее изменений в пределах атомных остовов.

Таким образом, при построении феноменологических теорий часто бывает удобно воспользоваться континуальным представлением, игнорируя атомную структуру вещества.

Разумеется, именно так следует поступать, рассматривая истинно макроскопические процессы, например распространение звука в океане или прохождение света звезд через атмосферу и радиоволн в ионосфере. Материал рассматривается при этом как непрерывная среда, состав которой определяет локальную плотность, упругость, коэффициент отражения, диэлектрическую проницаемость и т. д., т. е. параметры, фигурирующие в волновом уравнении. Такой подход оправдан, так как здесь мы имеем дело с возмущениями, длина волны которых значительно превышает типичное расстояние между атомами.

С другой стороны, в приложении к тепло­вым колебаниям или к движению электронов в неупорядоченной конденсированной среде континуальная трактовка редко бывает оправдана. Тем не менее, математическое сходство этих задач с соответствующими задачами макроскопической физики наводит на мысль о том, что небесполезными могут оказаться и модели, в которых флуктуации плотности или вариации локального кристаллического порядка рассматриваются просто как физические причины изменений локального потенциала, плотности, скорости фононов и т. д.

Тем не менее иногда удается в простой форме отразить влияние довольно сложных структурных характеристик беспорядка. Рассмотрим, например, эффективную потенциальную энергию электрона в жидком металле. Эта функция характеризует многоэлектронную систему, и, строго говоря, соответствующий потенциал нельзя представить в виде простой суперпозиции атомных потенциалов: он может зависеть от многоатомных характеристик структуры жидкости, например от средней локальной концентрации атомов.

Аналогичные соображения можно использовать и для определения эффективной потенциальной энергии носителей заряда вблизи края зоны в аморфном полупроводнике или для вычисления локальных упругих постоянных в стекле.

Вкратце остановимся на статистических характеристиках случайной функции в пространстве R одно, двух или трех измерений и покажем, чем обусловлены некоторые геометрические ее свойства. Пусть R есть вектор координат на плоскости. Тогда функция определяет высоту случайной поверхности.