Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Черт. 1





Метод Формулы Особенности метода
1. Средний темп роста а) цепной темп роста , б) средний темп роста за соответствующий период: в) ; τt – показательная функция. Если имеется несколько динамических рядов ( ), то сумма этих рядов дает новый ряд: г) Если динамика каждого характеризуется цепными темпами роста , то цепной темп роста суммарного ряда : д) m рядов с разными темпами роста Недостатки: 1. Средний темп роста полностью определяется двумя крайними уровнями ряда. При этом выбор периода для расчета среднего темпа существенным образом определяет его значения. Сдвиг периода на 1 шаг может привести к значительному изменению величины темпа.   2. Применение среднего темпа роста предполагает, что траектория развития приближается к экспоненте. Если ряду свойственна закономерность развития, то описание с помощью среднего темпа будет иметь очень условный характер.  

 

 

Продолжение приложения 2

    3. Средний темп роста скрывает характер динамики исследуемого процесса, т.к. не принимает во внимание промежуточные члены ряда (потеря информации для анализа). Ввиду своей легкости, отсутствия другой простой обобщающей характеристики, несмотря на недостатки, применяется в практике для анализа динамики развития. Он удобен при сопоставлении показателей динамики за ряд лет или при сопоставлении темпов роста развития ряда стран. Средний темп роста используется как конечная характеристика.
2. Скользящая средняя Данный динамический ряд с уровнями yt, t=I,n. Для этого ряда для каждых m последовательных уровней ряда (m<n) можно подсчитать среднюю величину: Все уровни ряда – равноценны. Если ряд имеет периоды колебания с жесткой продолжительностью цикла, то они полностью устраняются с помощью скользящей средней при интервале сглаживания, равном циклу. Сглаживание очень сильное. Поэтому тенденция развития проявляется лишь в общем виде, могут исчезнуть относительно мелкие волны или изгибы в тренде.

Продолжение приложения 2

3. Взвешенная скользящая средняя В пределах интервала сглаживания каждому приписывается вес, зависящий от расстояния, измеренного от данного уровня до середины интервала сглаживания. Внутри интервала сглаживания уровни описываются полиномом р-й степени  
4. Средние приросты Для определения средней скорости изменения тренда используется средний прирост (средний прирост оставшихся членов ряда определяется на основе среднего прироста 1-го члена выровненного ряда и )  
5. Экспоненциальная средняя Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределяемыми весами характеризует процесс на конце интервала сглаживания, т.е. является средней характеристикой последних уровней ряда: , , a - коэффициент, характеризующий вес текущего наблюдения. 0≤a≤1 Qt – экспоненциальная средняя на момент времени t.   Легко адаптируется к новым условиям (при движении), удобен при прогнозировании. , Qt – экспоненциальная средняя предшествующего момента времени + поправка.

 

Черт. 1

координаты точки М через х и у (ОН = х, НМ = у) и выразим стороны треугольника ЕО и ОМ через х и у. Очевидно, что

и ЕО = ЕН — ОН. Обозначим и из прямоугольного треугольника МЕН получим:

.

(так как ЕМ касательная к кривой в точке М и, следовательно, ). Используя это равенство, получаем:

.

Так как треугольник MEO равнобедренный, то

. (6)

Равенство (6) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти ординату «у» кривой AВ, как функцию абсциссы, что и определит форму кривой сечения рефлектора. Уравнение (6) более сложное, чем в предыдущей задаче, поэтому решение этого уравнения будет проведено в §5 главы I, где будет указан прием решения уравнений такого типа.

Задача 3. Имеется замкнутая электрическая цепь с сопротивлением R и силой тока I0. В некоторый момент времени, которые мы примем за начальный (t = 0), постоянный ток I0 размыкается. Требуется выяснить, прекратится ли сразу ток в цепи, а если нет то как он будет убывать.

Выключение постоянной электродвижущей силы, поддерживавшей силу тока I0 в цепи, вызывает, вследствие изменения магнитного поля тока I0, возникновение электродвижущей силы индукции (явление самоиндукции). Таким образом, в цепи инду­цируется ток под действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции; он называется «экстратоком размыкания». Экстраток размыкания направлен в ту же сторону, что и основной ток. Известно, что эта электродвижущая сила самоиндукции пропор­циональна скорости изменения силы тока (коэффициент пропор­циональности называется коэффициентом самоиндукции), т. е. имеет вид:

,

где I — переменная сила экстратока размыкания и L— коэффи­циент самоиндукции.

По закону Ома имеем:

; (7)

это равенство представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо определить силу экстратока размыкания как функцию времени. Собираем в уравнении (7) члены, содержащие переменную I, в левую часть и члены, содер­жащие переменную t, в правую часть:

.

Как и в задаче 1, переписываем последнее равенство в виде:

,

откуда получаем:

.

(постоянную прибавляем в виде логарифма постоянной, так как это удобнее для дальнейших преобразований). Потенцируя, полу­чаем:

, (8)

что и дает искомое выражение силы экстратока размыкания через t. Опять-таки в условиях данной задачи можно выяснить, что постоянная С может иметь только одно вполне определенное значение. Для этого положим t = 0 в формуле (8), причем I обратится в I0:

, т. е. .

Подставляя полученное значение С в формулу (8), имеем:

. (9)

Эта формула дает определенный ответ на вопрос, поставленный в задаче: при размыкании тока сила тока в цепи не сразу падает до нуля, а постепенно спадает по показательному закону (это уменьшение происходит быстро: например, если L=0,1 гни R=0,7 ом,то за 0,1 секунды сила тока при размыкании спа­дет до ½ I0).

Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания.

Задача 4. Пусть два вещества A и В, находящиеся в растворе, вступают в необратимую химическую реакцию. Требуется найти формулу, по которой можно было бы подсчитать в любой момент времени количество вещества, уже вступившего в реакцию.

Обозначим через а и b количества этих веществ (в грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, т. е. при t = 0 (пусть, например, а<b), и через x — одинаковое количество того и другого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту вре­мени t. В этот момент времени в единице объема находится а—х грамм-молекул вещества А и b—х грамм-молекул вещества В. Известно, что по закону химического взаимодействия масс ско­рость химической реакции для некоторых типов реакций пропор­циональна произведению (а—х)·(b—х). Так как скорость хи­мической реакции есть скорость увеличения х, то она является производной от х по времени, и поэтому закон химического взаи­модействия масс может быть записан следующим образом:

, (10)

где к— коэффициент пропорциональности. Уравнение (10) есть дифференциальное уравнение первого порядка, где неизвестной является функция х (t). Для того чтобы найти эту функцию, посту­пим так же, как в задачах 1 и 3, а именно, отделим переменные t и х друг от друга, уединив члены с х в левой части уравнения и члены с t в правой:

.

Последнее равенство можно переписать в виде:

,

откуда:

.

Умножаем на (а—b):

и, потенцируя, получаем:

. (11)

Обозначим для простоты второй постоянный множитель одной буквой

и найдем из (11) выражение искомой функции х (t) через время:

,

. (12)

Конкретное числовое значение постоянной С1 для данной задачи можно найти опять-таки с помощью начальных условий: при t = 0, х = 0. Подставляем начальные условия в (12):

,

откуда . Подставляем найденное значение С1 в (12):

,

упрощая, получаем:

. (13)

Эта формула и дает окончательное выражение для количества вещества, вступившего в реакцию к моменту времени t. Легко видеть, что при возрастании t величина х приближается к а.

Задача 5. Гибкая однородная нерастяжимая нить подвешена за два конца и провисает под действием силы тяжести. Найти уравнение кривой, по которой происходит провисание.

Выберем наиболее удобное расположение нити в координатной системе, указанное на чертеже 2, а именно: направим силу тя­жести по отрицательному направлению оси ОY и расположим нить симметрично относительно оси ОY (числовое значение длины отрезка ОD = а будет указано ниже). Возьмем бесконечно малый участок нити от А до В длиной (в наших рассуждениях вместо бесконечно малых приращений переменных величин мы будем брать дифференциалы этих величин, так как бесконечно малые приращение и дифференциал функции разнятся друг от друга только бесконечно малыми высших порядков малости). Рассмот­рим силы, действующие на этом участке: в точке А действует натяжение S влево от A; в точке В действует натяжение S+dS вправо от В; также на участке АВ действует сила тяжести, на­правленная вертикально вниз и по величине равная

,

где q —линейная плотность нити (по условию задачи q=const). Когда нить находится в состоянии равновесия, сумма всех сил, действующих на участке АВ, равна нулю. Разложим все силы на

 

O
X
Y
S+dS
H+dH
mg
s
H
B
A
D
a

 


V+dv

 

 

v

 






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 256. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия