Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения в полных дифференциалах





 

Определение.Дифференциальное уравнение вида

 

(1.50)

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции независимых переменных .

Общий интеграл такого уравнения имеет вид

 

.

 

Следующая теорема дает признак того, что уравнение вида (1.50) является уравнением в полных дифференциалах.

Теорема.Если функции и непрерывны вместе с частными производными и в некоторой односвязной области плоскости , то левая часть уравнения (1.50) будет являться полным дифференциалом некоторой функции тогда и только тогда, когда выполняется тождество

 

. (1.51)

 

Интегрирование уравнения в полных дифференциалах сводится к нахождению по функциям и соответствующей функции . Особые решения отсутствуют.

Пример 1 Проинтегрировать уравнение

.

 

Решение. Данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как функции и непрерывны во всей плоскости вместе со своими частными производными, при этом выполняется условие (1.46):

 

.

Таким образом, левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Так как , то имеем соотношения

.

Из первого, интегрированием по х, получаем

 

или

. (1.52)

 

Здесь непрерывно дифференцируемая функция, постоянная интегрирования. Считаем ее зависящей от , ибо интегрирование производилось по х. Из (1.52) находим

 

.

Так как, с другой стороны,

 

,

то имеем следующее уравнение для определения :

 

,

или

.

Отсюда находим

 

,

то есть

, (1.53)

где произвольная константа. Подставляя (1.53) в (1.52), имеем семейство функций

,

для которых левая часть данного уравнения является полным дифференциалом. Таким образом, наше уравнение можно записать в виде

,

откуда его общий интеграл есть

.

 

1.6.1 Примеры для самостоятельного решения

 

Выяснить, являются ли следующие уравнения уравнениями в полных дифференциалах, и найти их общее решение.

 

1

отв:

 

2

отв:

 

3

отв:

 

 






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 290. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия