Студопедия — Линейные неоднородные уравнения второго порядка
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные неоднородные уравнения второго порядка






 

Определение. Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

 

. (2.15)

 

Решение уравнения (2.15) будем рассматривать на промежутке I непрерывности функций .

Уравнение (2.10) называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (2.15).

Пусть два линейно независимых решения (2.11), общее решение (2.11), частное решение ОДУ (2.15).

Свойство. Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Таким образом, формула общего решения уравнения (2.15) имеет вид

 

. (2.15а)

 

Заметим, что это свойство годится для линейных неоднородных уравнений любого порядка.

Рассматривается уравнение вида

 

. (2.16)

 

Лемма. (Принцип суперпозиции)

Если правая часть неоднородного уравнения (2.15) есть сумма двух функций и частное решение уравнения , а частное решение уравнения , то сумма есть некоторое частное решение уравнения (2.16).

Если известно общее решение соответствующего уравнению (2.15) однородного уравнения (2.11), то для определения частного решения уравнения (2.15) можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим уравнение (2.15). Пусть какое-либо решение уравнения (2.15), а линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (2.11), тогда формула , где произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (2.15).

При этом если известны, то решение уравнения (2.15) может быть получено по формуле:

,

где определяются из системы уравнений первой степени

 

(2.17)

 

Система (2.17) имеет единственное решение , так как ее определитель – это определитель Вронского . Таким образом,

 

.

 

Пример. Проверив, что функции , образуют фундаментальную систему решений уравнения , найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде . Ищем частное решение уравнения по формуле . Для определения составим систему вида (2.17)

 

Сложив уравнения (1) и (2), получим . Подставив найденное в (1), будем иметь

Итак, . Общее решение уравнения имеет вид , где произвольные постоянные.

 

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 534. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия