Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Рассмотрим применение в качестве интерполяционного полинома Лагранжа. , (8.1) где - ошибка квадратурной формулы (8.1) или остаточный член Выбрав шаг , разобьем отрезок с помощью равноотстоящих точек , , на n равных частей, и пусть . Заменяя функцию соответствующим интерполирующим полиномом Лагранжа , получим приближенную квадратурную формулу: , (8.2)
- некоторые постоянные коэффициенты. Найдём явные выражения для коэффициентов формулы (8.2). Коэффициенты полинома Лагранжа имеют вид: ,
где , причем .
Введем обозначения: и тогда , . Сделав замену переменных в определенном интеграле , будем иметь: . Учитывая, что , обычно полагают , где это постоянные, называемые коэффициентами Котеса. Квадратурная формула (8.2) принимает вид:
(8.3)
Формулы называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса Справедливы соотношения: 1. ; 2. .
|