Квадратурная формула ГауссаПолиномы вида называются полиномами Лежандра. Свойства этих полиномов: 1. , ; 2. , где - любой полином степени k, меньшей n; 3. полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале . Первые пять полиномов Лежандра: Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(8.14)
была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1. Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь . Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений: (8.15) Система (8.15) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности. Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (8.15) для них должны быть справедлива формула (8.14) и . С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства: при , поэтому (8.16). Равенства (8.16) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (8.14) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства 3, эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений системы (8.15) коэффициенты Аi (i = 1, 2, …, n). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда
и, следовательно, определяются однозначно. Формула (8.14), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (8.15), называется квадратурной формулой Гаусса. Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим: , (8.16) где , - нули полинома Лежандра , т.е. . Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом: . Отсюда получаем: ,
,
,
,
. Выведем квадратурную формулу Гаусса для случая трех ординат. Полином Лежандра третьей степени есть . Приравнивая этот полином нулю, находим: , , . Для определения коэффициентов в силу системы (8.15) имеем: Отсюда: , . Следовательно, . Таблица 8.2 Элементы формулы Гаусса
Пример 8.4 Вычислить интеграл из примера 8.3. по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек. Оценить точность вычислений.
В ответе сохраняем шесть верных знаков. Ответ: 0, 423195 Рис. 8.4. Решение примера 8.3 в Mathcad
|