Студопедия — Перестановки. Размещения. Сочетания
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Перестановки. Размещения. Сочетания






 

Пусть есть некоторое конечное множество элементов U ={ a 1, a 2,..., a n}. Рассмотрим набор элементов , где Î U, j = 1, 2,..., r.

Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т.е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.

Принцип суммы: если card A = m, card B = n и A Ç B = Æ, то card A È B = = m + n. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “ A или B ” может быть осуществлен m + n способами.

Принцип произведения: если card A = m, card B = n, то card (A ´ B)= m + n. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “ A и B ” может быть осуществлен m× n способами.

Пример 1. A = 10 {различных шоколадок}, B = 5 { различных пачек печенья}. Выбор “ A или B ” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор “ A и B ” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.

Пример 2. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?

Пусть m – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.

Рассмотрим основные способы формирования выборок.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановки. Упорядоченные выборки, объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается Pn.

Теорема. P = n!

Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P 1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и Pk = k!, покажем, что она тогда верна и для n = k +1. Рассмотрим (k +1)- й элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать k +1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить k! (k +1) = (k +1)! способами. Совместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.

Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!

Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n - 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n ´ (n - 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n - 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n (n - 1)(n - r)... 1.

Размещения. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается .

Теорема. =

Обозначим x = . Тогда оставшиеся (nm) элементов можно упорядочить (nm)! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (nm)! способами, то совместный выбор “ A и B ” можно осуществить x × (nm)! способами, а выбор “ A и B ” есть перестановки и Pn = n! Отсюда x = =

Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй – (n – 1) способами и т.д., m –й элемент выбираем (nm + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n (n – 1)...(nm +1), что совпадает с .

Пример 4. Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы?

Имеем = 15 × 14 × 13 = 2730.

Сочетания. Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n) называются сочетаниями. Их число обозначается .

Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “ A и B “ – упорядоченная выборка.

Пример 5. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).

Теорема. (n) = nm.

Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем nm.

Пример 6. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 104.

Пример 7. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов.Ответ: 2 m

Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k 1 элементов первого типа, k 2 элементов второго типа и т.д., ks элементов s -го типа, причем k 1 + k 2 +... + ks = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается Cn (k 1, k 2,..., ks). Числа Cn (k 1, k 2,..., k s) называются полиномиальными коэффициентами.

Теорема. Cn(k1,..., ks)=

Доказательство проведем по индукции по s, т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k 1 = n, все элементы одного типа и Cn (n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k 1 + k 2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k 1 (или k 2): выбираем k 1 место, куда помещаем элементы первого типа.

Cn (k 1, k 2) =

Пусть формула верна для s = m, т.е. n = k 1 +... + km и

Cn(k 1,..., km)=

Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k 1 +... + km + km +1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (nkm +1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B (k 1,..., k m) способами. По принципу произведения

и мы получили требуемую формулу.

Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1= 3), буква “м” – 2 раза (k 2 = 2), “т” – 2 раза (k 3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда k 3 = k 4 = k 5 = 1.

C 10 (3, 2,, 2, 1, 1, 1) = =151200.

Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³ m ´ n) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).

Теорема. (n) = .

Доказательство. Пусть в выборку вошло m 1 элементов первого типа, m 2 элементов второго типа,... m nn -го типа. Причем каждое 0 £ m i £ m и m 1+ m 2+...+ mn = = m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов { bn } существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n) равно числу векторов bn. “ Длина вектора” bn равна числу 0 и 1, или m + + n– 1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n - 1 мест, а это будет .

Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).

Число способов будет

Пример10. Пусть V = { a, b, c }. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: { abc, bac, bca, acb, cab, cba }. P 3=3! =6.

2. Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.

3. Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.

4. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. (3)= 32 = 9.

5. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 1908. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия