Возведение в натуральную степень

Пример 8.

- результатом извлечения корня будет тоже комплексное число, т.е.

Наша задача найти x и y.

По определению корня имеем:

Из условия равенства двух комплексных чисел (см. пример 3) имеем:

Û Решаем полученную систему:

Используя теорему Виета, получаем:

если	если x2 =-1, то –y2 =-4 этот случай невозможен

т. к. , то выбираем значения х и у с разными знаками, т. е.

- если х=2, то у=-1, Þ

- если х=-2, то у=1Þ

Ответ:

3.2. Геометрическая форма

z=a+вi – этому числу соответствует упорядоченная пара чисел (а; в), а значит точка М (а; в) или вектор ОМ (а; в).

Геометрически комплексные числа, есть точка координатной плоскости или радиус-вектор т. М (а; в), где «а»- действительная часть комплексного числа, а «в» - коэффициент мнимой части комплексного числа.

Пример 9.

Можно сделать вывод, если a=0, то z=вi – чисто мнимые числа расположены на оси (OY) – которую иногда называют мнимой осью, а все действительные числа (если в=0), находятся на оси (OX) – её называют действительной осью.

Выполнение действий над комплексными числами в геометрической форме ограничены: сложение, вычитание, умножение на число и скалярное и векторное произведение. Эти действия выполняются как действия над векторами, которые мы рассматривали в теме векторы.

Геометрическая форма нам необходима для перехода от алгебраической формы и тригонометрической.

3.3. Тригонометрическая форма

Рассмотрим на рис. 2 треугольник ONM – прямоугольный. Величина угла MON равна φ (фи), = r =

φ – аргумент комплексного числа, r - модуль комплексного числа

Формулы, выражающие зависимость между a; в и r; φ;.

Пусть нам дано комплексное число , умножим и разделим это число на r(r> 0) от этого значение комплексного числа не изменится.

получим тригонометрическую форму комплексного числа, где ,

вычисляется по формулам

 

Пример 10. Получить тригонометрическую форму комплексного числа Изображаем графически это число

 

 

 

Пример 11.

В тригонометрической форме легче выполнить действия умножение, деление, возведение степень и извлечение корня. Для этого используются формулы:

При умножении :

При делении :

При возведении в степень:

формула Муавра (А. Муавр (1667-1754) англ. математик)

При извлечении корня n-ой степени: , где k=0; 1; 2; …n-1

Пример 12.

Преобразуем число -1 в комплексную форму: ; ; в=0

j=p

-1=1× (cosp+i sinp)

, где k=0, 1, 2, 3, 4

если k=0, то

если k=1, то

если k=2, то

если k=3, то

если k=4, то

Примечание: имеет ровно n значений, которые получаются при значениях k=0; 1; 2; …n-1.

 

Пример 13.

Найти все корни уравнения х³-8=0.

Уравнение n^й степени имеет ровно n корней, значит это уравнение имеет три корня.

х³=8 , представим число 8 в тригонометрической форме.

8=8+0i; а=8; в=0; ; j=0; 8=8× (cos0+i sin0)

если k=0, то х₁=2× (cos0+i sin0)=2(1+i× 0)=2+0i

если k=1, то

если k=2, то

Ответ: х₁=2; х_{2, 3}=-1±i

3.4. Показательная форма

По известному замечательному пределу е, аналогично е^z, где z=a+вi; е^z=e^a+вi

Существует доказательство формулы:

е^z=е^а+вi=e^a× (cos в+sin в), если а=0, то формула принимает вид:

е^z=е^вi=e⁰(cos в+isin в)=, т.е. е^вi=cos в+isin в - формула Эйлера.

По формуле Эйлера при условии в=j имеем: cosj+isinj=e^ij.

Умножим обе части на .

r× (cosj+i sinj)=r× e^ij -есть формула перехода от тригонометрической формулы в показательную.

Пример 14 (продолжение примера 10).

Пример 15 (продолжение примера 11).

Действия над комплексными числами в показательной формуле.

Умножение: .

Деление: .

Возведение в степень: .

Извлечение корня: , где k=0; 1; 2; …n-1.

Пример 16.

;

если k=0, то

если k=1, то

если k=2, то

если k=3, то

Ответ: