Решение. Из соображений симметрии, очевидно, что вектор напряженности электрического поля может быть направлен только радиальноИз соображений симметрии, очевидно, что вектор напряженности электрического поля может быть направлен только радиально. Законы изменения напряжённости поля с расстоянием от оси внутри и снаружи цилиндра могут различаться. Поэтому область 1– внутри цилиндра и область 2 – снаружи необходимо исследовать отдельно.
Для определения напряженности в произвольной точке В, находящейся внутри заданного цилиндра (рис. 11, а), выберем замкнутую поверхность в виде второго (вспомогательного) цилиндра радиусом r, ось которого совпадает с осью заданного цилиндра (цилиндры коаксиальные). Второй цилиндр имеет боковую поверхность S бок и два основания Sосн1 и Sосн 2. Его радиус равен расстоянию от оси до точки В. Таким образом, точка В находится на боковой поверхности второго цилиндра. Зарядов внутри него нет. В соответствии с теоремой Гаусса (3.1) Интеграл по замкнутой поверхности S можно представить в виде суммы интегралов по основаниям и боковой поверхности , (3.6) Так как вектор напряженности направлен радиально, то скалярные произведения в первых двух интегралах равны нулю, а в последнем, . Из соображения симметрии напряженности поля в точках, принадлежащих боковой поверхности, должны быть одинаковыми. Тогда равенство (3.6) примет вид , (3.7) Равенство (3.7) может иметь место только при выполнении условия Е = 0. Таким образом, в любой точке внутри заряженного по поверхности цилиндра напряженность электрического поля равна нулю. Для определения напряженности в произвольной точке С, снаружи заданного цилиндра, аналогично выберем вспомогательную замкнутую поверхность в виде третьего коаксиального цилиндра высотой L (рис. 11, б). Его радиус равен расстоянию от точки С до оси заданного цилиндра. Так как внутри вспомогательной поверхности интегрирования находится заряд , то для нее теорема Гаусса имеет вид , (3.8) Интеграл в левой части этого равенства по аналогии с предыдущим случаем представим в виде суммы таких же трех интегралов, из которых ненулевым является только интеграл по боковой поверхности (рис. 2.10, б): Последний интеграл равен площади боковой поверхности цилиндра S 6ок = 2π rL. Из теоремы Гаусса получим . (3.9) Отсюда напряжённость электростатического поля при . (3.10) При r = R значение напряженность поля максимально . (3.11) Так как внутри цилиндра поле отсутствует, то разность потенциалов между осью и заданной точкой А равна разности потенциалов между поверхностью цилиндра и этой точкой = Вычисления . Ответ: график изменения напряженности электрического поля с расстоянием от оси цилиндра приведен на рис. 2.12, разность потенциалов между осью цилиндра и точкой А равна 12, 5 В
Пример 3.2. Система зарядов представляет собой ядро с положительным зарядом равным элементарному заряду и «облако» отрицательного заряда, объемная плотность которого изменяется с расстоянием от ядра по закону , (3.12) где R – радиус, численно равный первой боровской орбите электрона в атоме водорода (R = 0, 53∙ 10–10 м); е – элементарный заряд (е = 1, 6∙ 10–19 Кл); r - расстояние от центра ядра, м. Найти напряженность электрического поля на расстоянии R от ядра.
Решение Выберем замкнутую сферическую поверхность с радиусом, равным R и центром в ядре (размерами ядра можнопренебречь). Из соображений симметрии во всех точках этой поверхности вектор напряженности электрического поля одинаков по модулю и перпендикулярен к поверхности (рис.13). Поэтому теорему Гаусса () для выбранной поверхности S запишем в виде , (3.13) где Q - суммарный заряд, находящийся внутри выбранной сферы, т.е. положительный заряд ядра, равный е, и отрицательный заряд электронного «облака» Q обл. Этот заряд определим интегрированием плотности отрицательного заряда электронного «облака» по внутреннему объему выбранной сферы. Тогда . (3.14) Учитывая сферическую симметрию, элемент объема dV можно представить в виде dV = 4p r2dr. Тогда (3.15) Выбор метода вычисления студент определяет самостоятельно. Можно использовать метод интегрирования по частям или воспользоваться математическими справочниками. В результате получим Используя теорему Гаусса , и, учитывая, что интеграл в левой части равен площади поверхности сферы S = 4p R 2 для напряжённости поля получим . Вычисления » 3, 5∙ 1011 В/м. Ответ: напряженность электрического поля на расстоянии R от ядра равна 3, 5∙ 1011 В/м.
|