Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Этап 2: определение аппроксимирующей функции элементов





Эту процедуру можно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется далее для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ней элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующего программного комплекса. Далее эти элементы применяются для решения разнообразных краевых задач.

В качестве аппроксимирующих функций элементов чаще всего используются полиномы. В зависимости от степени полинома конечные элементы делятся на симплекс–, комплекс– и мультиплекс–элементы. Полиномы симплекс-элементов содержат константы и линейные члены; полиномы комплекс-элементов — константы, линейные члены, а также члены более высоких степеней. Комплекс-элементы, как правило, кроме граничных имеют дополнительные внутренние узлы. Полиномы мультиплекс-элементов также содержат члены более высоких степеней. На мультиплекс-элементы накладывается дополнительное условие: их границы должны быть параллельны координатным осям.

Одномерный симплекс-элемент представляет собой отрезок, изображенный на рисунке 2.15.

Рис. 2.15. Одномерный симплекс-элемент

 

При определении функции этого элемента для простоты будем считать, что узловые значения искомой непрерывной функции, определенные на концах отрезка, известны. По длине отрезка значение функции φ аппроксимируется полиномом:

φ = α1 + α2х. (2.46)

 

Коэффициенты α1 и α2 определяются через узловые значения функции Фi и Фj в соответствии с условием непрерывности:

 

φ = Фi при х = Хi,

φ = Фj при х = Хj. (2.47)

 

Подставив (2.47) в (2.46), получим систему уравнений:

 

Фi = α1 + α2 Хi,

Фj = α1 + α2 Хj.

 

решая которую, определим α1 и α2:

 

т.е. .

 

Подставив вычисленные значения коэффициентов аппроксимирующего полинома в (2.46), получим

 

.

 

Проведем эквивалентные преобразования правой части:

(2.48)

 

Члены полученного уравнения, заключенные в скобки, являются функциями формы одномерного симплекс–элемента:

 

; . (2.49)

 

С учетом обозначений (2.49) уравнение (2.48) принимает вид

 

φ = NiФi + NjФj, (2.50)

 

или в матричной форме

 

φ = NФ, (2.51)

 

где N = [Ni, Nj] — матрица–строка; — вектор-столбец.

Функция формы обладает следующим свойством: функция формы с номером i равна 1 в узле с соответствующим номером и равна 0 во всех других узлах. Не представляет труда убедиться в наличии этого свойства у функций формы (2.49).

Двумерный симплекс–элемент представляет собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами.

Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию φ внутри треугольного симплекс–элемента имеет вид

 

φ = a1 + a2x + a3y (2.52)

 

Чтобы получить выражения для функций формы элемента, необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их номерами i, j, k, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь при этом против часовой стрелки (рис. 2.16). Узловые значения Фi, Фj, Фk будем по-прежнему считать известными.

 

Рис. 2.16. Функция двухмерного симплекс–элемента

 

Используя условие непрерывности искомой функции в узлах аналогично предыдущему случаю, составим систему уравнений

 

 

решая которую относительно неизвестных коэффициентов полинома, получим:

a1 = (0,5/ S[(XjYk – XkYji + (XkYi – XiYkj + (XiYj

– XjYik]);

a2 = (0,5/ S)[(Yj – Yki + (Yk – Yij + (Yi – Yjk]);

a3 = (0,5/ S)[(Xk – Xji + (Xi – Xkj + (Xj – Xik]. (2.53)

 

где S — площадь элемента, вычисляемая по формуле

.

 

Подставим (2.53) в (2.52), проделаем аналогичные преобразования, получим

 

(2.54)

где (2.55)

и

 

Вычисляя значения функций формы Ni, Nj, Nk нетрудно убедиться, что они равны 1 в узлах с соответствующими номерами и 0 в остальных узлах элемента.

Функции (2.50) для одномерного и (2.55) для двумерного симплекс–элементов были получены для типичных элементов безотносительно к положению в области. Поэтому они удовлетворяют всем элементам данного типа, что позволяет создавать обширные библиотеки элементов в САПР. Аналогично вычисляют функции всех прочих типов элементов.

 






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 381. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия