Определение внутренних усилий в балках

при плоском поперечном изгибе (задачи № 12–15)

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.5).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 22).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.1–7.5).

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений из уравнений отсеченной части балки следует, что поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Рис. 4.5. Правило знаков: а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента в балке

Введем правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если она обходит сечение по часовой стрелке (т. е. сила, находящаяся слева от сечения и направленная вверх, или сила, находящаяся справа от сечения и направленная вниз, – положительны) (рис. 4.5, а). Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз. Обращаем внимание на то, что знак внутреннего усилия – изгибающего момента – зависит от того, с какой стороны от сечения находится момент[3]. Как видно из рис. 4.5, б момент, находящийся слева от сечения, действует по часовой стрелке, а момент, расположенный справа от сечения, – против часовой стрелки. И оба они положительны.

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Известно [2], что изгибающий момент М, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки q связаны между собой такими дифференциальными зависимостями:

, (4.11)

(4.12)

и, как следствие (4.11) и (4.12),

. (4.13)

При выводе формул (4.11)–(4.13) нагрузка считалась положительной, если она направлена вниз.

Из определений для поперечной силы и изгибающего момента, а также из дифференциальных зависимостей (4.11)–(4.13) вытекают следующие правила проверки правильности построения эпюр Q и М:

1. На эпюре Q под сосредоточенной силой имеет место скачок на величину этой силы. На эпюре М в этом сечении должен быть перелом, т. е. резкое изменение угла наклона прямой (или касательной к кривой).

2. На эпюре М скачок имеет место под сосредоточенной парой на величину этой пары.

3. Из зависимостей (4.11), (4.12) можно определить вид функций Q и М:

· если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то , а М – линейная функция x;

· если на участке действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Q – линейная функция, а М – квадратная парабола;

· если на участке действует линейно распределенная нагрузка, то соответственно Q является квадратной параболой, а М – кубической.

4.3. Характер поведения функции на участке (то есть ее возрастание или убывание) зависит, как известно, от знака первой производной функции. И из дифференциальных зависимостей (4.11), (4.12) следует:

· если на участке распределенная нагрузка q > 0 (действует вниз), то поперечная сила Q на этом участке является убывающей функцией;

· если на участке поперечная сила положительна, то функция М (x) возрастает;

· если на участке в каком-то сечении функция , то на эпюре М в этом сечении имеет место экстремум.

5.4. По знаку второй производной функции определяется выпуклость функции. Из зависимости (4.13) вытекает, что эпюра М всегда имеет выпуклость в сторону действия распределенной нагрузки (q – вниз, выпуклость – вниз и наоборот). По знаку второй производной от Q можно определить выпуклость эпюры Q. Из (4.11)

и, если q (x) – возрастающая функция, то и эпюра Q имеет выпуклость вверх.

6. Из (4.11) следует, что

.

Это означает, что приращение изгибающего момента D М на участке между сечениями х ₁ и х ₂ равно площади эпюры Q на указанном участке.

7. Из (4.12) получим:

.

То есть приращение поперечной силы на участке между сечениями х ₁ и х ₂ равно площади графика на этом участке. Например, если нагрузка q является равномерно распределенной, то площадь графика q равна , где l – длина участка, на котором действует q.

Примечание. Зависимости (4.11) и (4.12) и перечисленные правила справедливы, если начало отсчета x вести слева направо и эпюру М строить со стороны растянутых волокон.

Рекомендуем после построения эпюр обязательно проанализировать результаты, проверив выполняются ли все перечисленные правила в решенной Вами задаче.