Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Численные методы





С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: аналитические, графические и численные.

При использовании аналитических методов решения задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики примеров сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко.

Графические методы позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

Графически методы могут применяться для получения начальных приближений к решению, которые затем уточняются с помощью численных методов.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задач к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Подчеркнем важные отличия численных методов от аналитических.

Во-первых, численные методы позволяют получить лишь приближенное решение задачи. Во-вторых, они обычно позволяют получить решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных.

Поясним второе отличие на примере. По формуле (1) (по аналитическому решению) можно проанализировать как изменяется закон движения при изменении параметров g, m и начальных значений u0 и h0. Если в модели (2) выражение F(t) имеет простой вид (например, F(t)=const), то можно получить аналитическое решение, аналогичное (1). Это решение легко исследовать на предмет зависимости от изменения параметров и начальных условий. Если же выражение для F(t) достаточно сложно, то задачу (2) проще решить численно. При этом вместо общей формулы решения в результате расчета будут получены значения u и h для некоторого набора моментов времени t при конкретных значениях g, m, u0, h0. Для получения решения при других значениях параметров и (или) других начальных условиях необходимо провести новый расчет. Для анализа зависимости решения от параметров и начальных условий необходима большая серия расчетов.

Несмотря на эти недостатки, численные методы незаменимы в сложных задачах, которые не допускают аналитического решения.

Многие численные методы разработаны давно. С появлением ЭВМ начался бурный период их развития и внедрения в практику. Только ЭВМ под силу выполнить за короткое время объем вычислений в миллиарды, триллионы и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Численные методы наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должны обладать и ещё одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 240. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия