Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Этапы решения нелинейного уравнения





Уравнением называется равенство с переменной, которое в общем виде записывается в виде:

. (59)

Значение переменной х=х*, обращающее уравнение в тождество f(x*)=0 называется корнем уравнения.

Решить уравнение означает найти все его корни. Уравнение, вид которого не позволяет получить формулу для расчета точного значения корня, решается приближенно, например, x=cos(x) (получить систематическое решение невозможно).

Задача приближенного решения уравнения (59) заключается в исследовании функции

с целью поиска такой точки х* на оси, в которой значение функции обращается в нуль, т. е. y*=f(x*)=0.

Численные методы решения складываются из двух этапов.

1. Отделение корней, т. е. нахождение такого интервала [a, b], в котором существует единственный корень. Таких интервалов может быть найдено столько, сколько существует действительных корней у решаемого уравнения.

Существует несколько методов отделения корней: аналитический, графический, графоаналитический. Чаще всего на практике пользуются комбинацией графического и аналитического методов.

Для уравнения f(x) приблизительно строится график. Отделяют интервал [a, b] предположительно содержащий корень, а затем функция в этом интервале исследуется на выполнение трех условий:

- функция в интервале [a, b] должна быть непрерывна;

- монотонна на [a, b], т. е. первая производная не меняет свой знак на этом интервале;

- на конце интервала функция f(x) меняет знак.

Если эти условия выполняются, то интервал [a, b] содержит действительный корень, и причем единственный.

Например, требуется отделить корень уравнения

. (60)

Для этого удобно построить графики функций f(x)=sin(2x) и f(x)=ln(x) (рис. 50, а), а затем на оси OX отметить отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения рассматриваемых кривых. Из графиков следует, что уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку [1;1,5]. В другом варианте – построить график функции f(x)=sin(2x)-ln(x). Пересечение графика с осью ОХ – определяет местонахождение корня (рис. 50, б).

а) б)

Рис. 50. Графический способ отделения корней сложной функции

2. Уточнение корня, т. е. нахождение его значения внутри интервала [a, b] с заданной степенью точности.

Задача уточнения корня формулируется следующим образом: пусть на интервале [а, b] имеется действительный корень и причем единственный. Необходимо найти этот корень с заданной степенью точности e.

Существует большое разнообразие вычислительных методов, реализующих поставленную задачу, однако последовательность основных этапов решения задачи одинакова для всех методов и может быть представлена в виде блок-схемы (рис. 51).

 

 
 

Рис. 51. Этапы отделения корней

Все существующие вычислительные методы уточнения корней нелинейного уравнения условно делятся на 3 группы:

- методы деления отрезка;

- методы, основанные на информации о значении первой производной;

- методы, использующие рекуррентные выражения.

В данной лабораторной работе рассматриваются методы, относящиеся к разным группам.






Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 173. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия