ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Тепловые режимы и процессы в электроэнергетическом и электрофизическом оборудовании играют важную роль, определяя их рабочие характеристики и предельные возможности. Роль тепловых процессов в газоразрядных явлениях и технологиях также во многих случаях носит определяющий характер. Поэтому разделы физики, относящиеся к процессам теплопередачи, представляют для указанных инженерных областей особый интерес. Ниже будут рассмотрены классические модели теплопередачи и методы решения соответствующих задач для ряда характерных условий.

Ранее мы получили уравнение энергии для сплошной среды

где ρ — массовая плотность, ε — объемная плотность внутренней энергии, P — давление, v — вектор скорости движения среды, — мощность источников внутренней энергии. Приведенное уравнение описывает адиабатический режим, когда элементы среды не могут обмениваться энергией друг с другом. В соответствии с этой моделью, местное выделение энергии не приводит к изменению внутренней энергии в окружающих место выделения энергии элементах среды. В случае быстро протекающих процессов элементы среды просто не успевают обмениваться тепловой энергией друг с другом, и адиабатическая модель дает адекватное описание. Однако во многих практически важных случаях обмен энергией между элементами среды становится определяющим фактором теплового режима. Поэтому нам вновь придется модифицировать уравнение энергии, чтобы учесть и явления теплообмена.

Одним из важнейших физических механизмов теплообмена в сплошной среде является теплопроводность. Качественно на микроуровне явление теплопроводности в газах объясняется передачей энергии теплового движения частиц при столкновениях. Частицы газа, находящиеся в областях с большей температурой имеют более высокую кинетическую энергию теплового движения и при столкновениях с частицами их соседних более холодных элементов передают часть этой энергии. Таким образом, внутренняя энергия передается из более нагретой области в менее нагретую. В твердых телах, например в металлах, механизм теплопроводности реализуется в результате обмена энергией тепловых колебаний между узлами кристаллической решетки. В более нагретых областях эти колебания интенсивнее, чем в менее нагретых, однако возможность распространения колебаний в кристаллических решетках обеспечивает передачу их энергии из более нагретых областей в менее нагретые.

Феноменологические свойства явления сформулированы в математической форме в начале 19 века Био и Фурье. Поток тепловой энергии или тепловой поток описывается с помощью закона Фурье

,

где — количество тепловой энергии, передаваемой за единицу времени через единичную площадку в направлении , — направление нормали к изотерме (рис. 35), коэффициент теплопроводности, являющейся индивидуальной характеристикой вещества. С помощью формул векторного анализа последнее выражение можно записать в следующем общем виде

. (69)

Рис. 35. К выводу уравнения теплопроводности

Как видно из формулы (69) интенсивность теплопередачи определяется не только градиентом температуры, но и средой, свойства которой выражены в коэффициенте теплопроводности . Теплопроводность веществ может сильно различаться. Наиболее высокой теплопроводностью обладают металлы, для которых достигает нескольких сотен Вт/м∙ К. У жидкостей Вт/м∙ К. Наименьшей теплопроводностью обладают газы Вт/м∙ К. Многочисленные опыты подтверждают справедливость закон Фурье. При этом сама величина в той или иной степени зависит от температуры. В большинстве случаев температурная зависимость коэффициента теплопроводности может быть описана формулой

,

где — коэффициент теплопроводности при температуре , b — постоянная, определяемая опытным путем.

В зависимости от знака в выражении (69) тепловой поток может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае это приводит к уменьшению теплосодержания в данной точке, а во втором — к увеличению. Поэтому наряду с действующими в среде источниками и стоками тепловой энергии тепловой поток (69) играет равноправную роль в энергетическом балансе в некоторой точке среды.

Уравнение баланса энергии с учетом теплопроводности выведем на основе уравнения энергии (68). Без ограничения общности здесь рассмотрим малый элемент сплошной среды (рис. 35).

Скорость изменения теплосодержания выделенного элемента определяется мощностью действующего внутри него объемного источника тепловыделения , а также балансом входящих и выходящих через грани выделенного элемента тепловых потоков

Разделив последнее уравнение на , получим

В случае неподвижной среды v=0, и последнее уравнение примет вид

В достаточно широком интервале температур плотность внутренней энергии можно связать с температурой хорошо известным из общего курса физики линейным законом , где — массовая плотность и удельная теплоемкость, последнее уравнение можно переписать в виде

.

После подстановки вместо теплового потока его выражения через температуру (69) получим уравнение теплопроводности

. (70)

В случае стационарного температурного поля последнее уравнение упрощается вследствие исчезновения производной по времени

(71)

Уравнение (71) описывает стационарное распределение температуры в пространстве с неподвижной средой. Для решения уравнения стационарной теплопроводности (71), которое является дифференциальным уравнением в частных производных, необходимы граничные условия, которые устанавливают физические законы температурного поля на границе расчетной области.