ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. При изучении различных видов движения протяженных тел широко используется физическая модель абсолютно твердого тела

Пенза 2003

При изучении различных видов движения протяженных тел широко используется физическая модель абсолютно твердого тела. В рамках этой модели полагают, что действие сил на тело не приводит к его деформации, а влияет лишь на особенности движения тела. В дальнейшем для краткости такую модель будем называть просто «твердым телом».

Чтобы указать положение твердого тела в пространстве, необходимо зафиксировать какие-либо три его точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки описываются девятью координатами, между которыми имеются три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками твердого тела. Следовательно, в общем случае движение твердого тела - это движение с шестью степенями свободы.

Простейшими видами движения твердого тела являются посту­пательное и вращательное движения. Поступательным называется дви­жение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это такой вид движения, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, которая называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны.

Вращательное движение можно рассматривать как движение с одной степенью свободы, если ввести угловую координату j, т.е. угол между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Одна из этих плоскостей зафиксирована в пространстве, а вторая - жестко связана с телом. При этом для определенности полагают, что в начальный момент времени эти плоскости совпадают, т.е. j₀=0.

 

 

Быстроту вращения тела характеризуют угловой скоростью

, (1)

а быстроту изменения угловой скорости – угловым ускорением

. (2)

Для того чтобы изменить угловую скорость тела, к нему необходимо приложить вращающий момент – величину, харак­теризующую вращательный эффект силы F при ее воздействии на твердое тело. Вращающий момент численно равен

, (3)

где – плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Тело, обладая инертностью, противодействует изменению его скорости. Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении. Эта величина зависит от массы, формы и размеров тела, а также от расположения оси вращения. Кроме того, для неоднородных тел момент инерции зависит от того, как распределена плотность вещества по объему тела.

Обычно момент инерции различных тел приводят относительно оси, проходящей через центр их инерции. Например, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно оси стержня, определяется формулой

, (4)

где и –соответственно масса и длина стержня.

Если же необходимо рассчитать момент инерции I относительно оси, не проходящей через центр инерции тела, то используют теорему Штейнера, связывающую моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр инерции тела:

, (5)

где – масса тела;

– расстояние между параллельными осями.

Из формулы (5), в частности, следует, что если тело движется по окружности радиусом и размерами тела можно пренебречь (), то его момент инерции

. (6)

Иногда говорят, что формула (6) определяет момент инерции частицы (материальной точки), движущейся по окружности.

Ниже приведены моменты инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы:

- сплошного цилиндра относительно продольной оси

; (7)

- полого цилиндра относительно продольной оси

; (8)

- шара относительно оси, проходящей через его центр

. (9)

Часто при расчете момента инерции оказывается полезным ис­пользовать его свойство аддитивности: момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции его отдельных частей:

. (10)

В соответствии с законом динамики вращательного движения угло­вое ускорение тела пропорционально результирующему вращаю­щему моменту всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела, т.е.

. (11)

Результирующий вращающий момент находится как алгеб­раи­ческая сумма всех вращающих моментов, приложенных к телу. Вращающие моменты, стремящиеся повернуть тело против часовой стрел­ки, считаются положительными, по часовой стрелке – отриц­ательными. В зависимости от их соотношения угловое ускорение также может быть положительным или отрицательным.

Закон, выражаемый формулой (11), при изучении вращения тел играет ту же роль, что и второй закон Ньютона в динамике частиц.