Приближенный расчет нагрузки при повторных попытках

 

В реальной системе связи каждый разговор, занимающий коммутационный тракт на 2—3 мин, порождает случайное число повторных попыток, каждая из которых длится несколько секунд и занимает весь коммутационный тракт или только часть его в зависимости от места блокировки.

Влияние повторных попыток на результаты измерений нагрузки зависит от того, какое определение вероятности потерь взято за основу. Потерянная нагрузка состоит из отрезков времени, которые соответствуют безуспешным попыткам установления соединения. При этом вероятность потерь по нагрузке, рассматриваемая как отношение потерянной нагрузки ко всей поступившей нагрузке, может быть небольшой. В то же время вероятность потерь по вызовам, рассматриваемая как отношение потерянных попыток к общему числу первичных и повторных попыток, может быть в несколько раз больше. Смешение этих двух подходов приводит к грубым просчетам в оценке пропускной способности системы. Покажем это на примере.

Пусть дана система связи, состоящая из т звеньев, в которой вероятность потери попытки на отдельном звене равна р и не зависит от состояния (занятия линий) на остальных звеньях. Такое предположение приближенно выполняется для сложных систем связи. Наша задача — вычислить величины обслуженной и, потерянной нагрузок на отдельном звене системы.

Для уточнения постановки данной задачи приведем ошибочные или, точнее, очень грубые рассуждения по поводу ее решения, которые иногда встречаются на практике. Рассуждают так. Если нагрузка, обслуженная на последнем звене, должна быть равна, например, 100 Эрл, а вероятность потери на отдельном звене р =0,5, то нагрузка, поступающая на последнее звено, равна 200 Эрл, на (т —1)-е звено —400 Эрл (400 = 100∙2²) и т. д. Нагрузка, поступающая на первое звено, равна 2 ^т ∙ ^∙ 100 Эрл. Следовательно, обслуженная нагрузка равна 100 Эрл, а потерянная – соответственно (2^т − 1)∙100 Эрл. Такие рассуждения на практике приводят к грубым просчетам.

Если нагрузка, обслуженная всей системой, равна 100 Эрл, то нагрузка, обслуженная первыми (т —1) звеньями, не может быть равна 200 Эрл, а намного меньше. Каждый потерянный вызов занимает соединительный путь на небольшое время (всего на несколько секунд) по сравнению со средней длительностью разговора, которая равна 2—3 мин.

Если временем установления соединения пренебречь, то поступающая нагрузка равна тем же 100 Эрл. Для более точного нахождения поступающей нагрузки следует учитывать время поиска свободного пути (время установления соединения). Кроме того, нужно учитывать поведение абонентов, создающих повторные попытки. Итак, найдем решение следующей задачи.

Пусть т – число звеньев коммутационной системы; р — вероятность потери вызова на одном звене (независимо от состояния других звеньев); t — среднее время поиска соединения на одном звене; Т — средняя длительность разговора, абонент абсолютно настойчив. Требуется найти нагрузку, поступающую на любое звено сети.

Решим эту задачу приближенно при помощи элементарных соображений теории вероятностей. Приближенный характер решения заключается в том, что не учитываются зависимости между состояниями соседних звеньев.

Вычисление обслуженной нагрузки. Рассмотрим события, которые связаны с одной попыткой. Вероятность потери попытки на первом звене равна р, на втором звене — р (1— р) и т. д., на т -м звене равна р (1— р) ^{m -1}; вероятность успешного прохождения всех т звеньев и предоставления свободного пути равна (1— р)^т. Легко проверить, что эти события образуют полную группу событий, так как р+р(1— р)+... +р(1— р)^т-1+ (1 — р) ^т = 1.] Вычислим нагрузку, поступающую на первое звено при каждом событии. Если попытка потеряна на первом звене, то поступающая нагрузка равна t (среднее время поиска пути), если на втором,— то 2 t (и т. д., если на т -м,— то mt. Если попытка не потеряна, то поступающая нагрузка равна mt + T, Следовательно, каждая попытка установить соединение приводит к тому, что нагрузка, поступающая на первое звено, равна

 

(6.3)

 

Нагрузка, поступающая на последнее звено, отлична от нуля только в том случае, если попытка не была потеряна на первых т– 1 звеньях и 1) равна t+Т, если вызов обслужен, вероятность чего составляет (1— р) ^т; 2) равна t, если попытка потеряна именно на т -м звене; вероятность этого события р (1— р) ^{m -1}; 3) нагрузка равна нулю с дополнительной вероятностью р +... + р (1— р) ^{m -2}.

Следовательно, средняя нагрузка, доходящая до т -го звена при поступлении одного вызова на первое звено, равна

 

(6.4)

 

Из соотношений (3) и (4) находим отношение нагрузок

 

(6.5)

 

Зависимости отношения от т при значениях p =0,1и p =0,5 представлены на рисунке 6.5 а.

 

Рисунок 6.5 – Влияние.повторных попыток на нагрузки и потери:

а) зависимость ; б) зависимость вероятности безуспешной попытки от числа звеньев системы 1/(1-p)^m

Вычисление нагрузки на управляющие устройства. Выражения (4) и (5) определяют нагрузку на коммутационное оборудование. Часть этой нагрузки падает на управляющие устройства. Естественно, что при повторных попытках нагрузка на УУ больше той нагрузки, которая была бы в системе без повторных попыток.

Вычислим среднее число повторных попыток, порождаемых одним вызовом. Вероятность установления соединения на всех звеньях s =(1— р) ^т, а вероятность потери попытки (на каком-то из т звеньев) равна 1 – (1— р)^т. Вероятность того, что число повторных попыток будет равным i, есть s (1— s) ⁱ. Следовательно, среднее число повторных попыток на один вызов равно

 

(6.6)

 

Некоторые численные значения этого отношения представлены па рис. 6.5 б плюс первичная попытка и отношение интенсивности суммарного потока попыток к интенсивности потока первичных попыток равно

 

(6.7)

 

Некоторые численные значения этого отношения представлены на рис. 6.5 б.

Выражение (6.6) характеризует увеличение нагрузки из-за повторных попыток. Так как время установления соединения одно и то же для первичных и повторных попыток, то выражение (6.7) показывает, во сколько раз из-за наличия повторных попыток возрастает нагрузка на УУ. Сравнение (6.5) и (6.7) показывает, что дополнительная нагрузка на УУ растет значительно быстрее, чем нагрузка на соединительные линии. Из рис. 6.5 видно, что при р =0,1 и т=1 нагрузка на линии возрастает менее чем на 10%, а на УУ она удваивается.

Уплотнение абонентских линий. С целью экономии абонентских линий в телефонной практике применяют так называемое спаривание, т. е. к одной и той линии подключают два аппарата. Покажем, как это влияет на нагрузку АТС. Пусть вероятность занятия аппарата абонента π_а=0,2 (остальными вероятностями потери попытки соединения пренебрежем). Тогда при наличии одного аппарата на линии среднее число попыток на один вызов будет 1/((1–π_а)=1/0,8=1,25, при наличии двух аппаратов 1/0,6=1,67, при наличии трех аппаратов 1/0,4=2,5 попытки. Следовательно, при спаривании линии имеем нагрузку на УУ не 2∙1,25=2,5 попытки, а 2∙1,67 = 3,34 попытки, что равносильно тому, что УУ обслуживают не два, а 2,7 абонента. Эффект роста дополнительной нагрузки еще больше при наличии строенной линии: имеем не 3∙1,25 = 3,75 попытки, а 3∙2,5 = 7 попыток, т. е. как будто вместо трех абонентов станция обслуживает шесть абонентов.

 

6.2 Постановка задачи

 

В моделях систем с потерями вызов, поступивший в момент занятости всех линий пучка, теряется и в последующем никакого воздействия на коммутационную систему не оказывает. Такая модель процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов существенно отличается от реальных условий. В реальных коммутационных системах с потерями вызов теряется, если он поступает в момент занятости всех линий пучка, способных обслужить этот вызов, но источник этого первичного вызова, как правило, не отказывается от обслуживания, а осуществляет повторные вызовы (попытки) с целью добиться требуемого обслуживания. По существу, сообщения между вызывающими и вызываемыми абонентами в большинстве случаев не теряются, происходит лишь задержка в обслуживании, т. е. по аналогии с системами с ожиданием в таких случаях возникают условные потери.

Повторные вызовы, поступающие на коммутационную систему, вызваны не только потерей первичных вызовов из-за отсутствия свободных соединительных путей в моменты поступления вызовов. Более существенными являются другие причины, из-за которых устанавливаемые для обслуживания поступающих вызовов соединения не завершаются передачей сообщения (разговорным состоянием). Этими причинами являются: занятость линии вызываемого абонента, неответ вызываемого абонента, ошибки вызывающего абонента в процессе набора номера, неустановление соединения по техническим причинам (из-за попадания на неисправный прибор). Если на городских телефонных сетях из-за отсутствия свободных соединительных путей теряется 0,02–0,03 всех поступающих вызовов, то по другим перечисленным причинам не завершаются разговором 0,35–0,5 и более всех поступающих вызовов.

Исследованию системы с повторными вызовами в последнее время уделяется значительное внимание, однако полученные результаты по причине различных исходных позиций не нашли еще общего признания. Вместе с тем система с повторными вызовами более, чем любая другая изученная модель процесса обслуживания коммутационными системами поступающих вызовов, близка к реальным условиям функционирования системы. По этой причине в настоящей главе кратко излагается одно из решений рассматриваемой задачи.

В модели системы с повторными вызовами различаются два этапа обслуживания вызова. Первый этап обслуживания характеризуется занятием коммутационной системы (линии пучка), процессом установления соединения и его разъединения независимо от того, чем завершается это соединение – разговором, занятостью линии вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента и т. д. Второй этап обслуживания характеризуется разговорным состоянием соединения. Вызов считается обслуженным, если он завершился вторым этапом – разговором. Вызов считается необслуженным, если обслуживание его завершается первым этапом. Источник так ого вызова с заданной вероятностью осуществляет повторный вызов.

На полнодоступный пучок емкостью uлиний поступают первичные вызовы, образующие простейший поток с параметром l. Вызов, поступивший в момент отсутствия в пучке свободных линий, не обслуживается. Если в пучке имеется хотя бы одна свободная линия, то происходит первый этап обслуживания источника, осуществившего этот вызов. После окончания первого этапа обслуживания либо по этой линии происходит второй этап обслуживания (разговор), либо линия освобождается и вызов остается необслуженным. Вероятность того, что вызов останется необслуженным, обозначим j, а вероятность того, что вызов будет полностью обслужен, – y=1–j.

Длительность занятия линии первым и вторым этапами обслуживания вызова распределена по показательному закону с параметрами соответственно a и b, и, следовательно, средние значения времени обслуживания первым и вторым этапами равны ` t <sub>a</sub> = 1/a и ` t _b=1/b.

Абоненты, вызовы которых не обслуживаются по причине отсутствия свободных линий в пучке или завершились только первым этапом обслуживания, являются источниками повторных вызовов. От каждого такого источника поступают повторные вызовы, образующие простейший поток с параметром r. Если в течение заданного времени источник не производит повторного вызова, то рассматриваемый вызов теряется окончательно. Это время примем распределенным по показательному закону с параметром g.

Таким образом, время, в течение которого источник принимает решение произвести повторный вызов или окончательно отказаться от обслуживания неудачно сделанного им вызова, распределено, по показательному закону с параметром r+g. Отсюда среднее время существования источника повторных вызовов, равное среднему времени между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова, составляет z =1/(r+g). При этом с вероятностью H =r/(r+g) источник производит повторный вызов и с вероятностью 1– H =g/(r+g) отказывается окончательно от обслуживания. Вероятность H определяет меру настойчивости источника добиться полного обслуживания вызова.

Требуется определить вероятности состояний коммутационной системы.

 

6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки

 

В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на коммутационную систему может поступать только такой поток вызовов, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. Иными словами, чтобы не создавалось неограниченного количества необслуженных первичных и повторных вызовов, необходимо, как и в системе с ожиданием, ввести следующее ограничение:

 

(6.8)

 

Величина cопределяется из соотношения

 

, (6.9)

где ` t – средняя суммарная длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что для его обслуживания источник может производить и повторные вызовы (величина t должна учитывать также вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, т. е. не завершаются вторым этапом обслуживания – разговором), а с – интенсивность потока первичных вызовов в течение 1 ч.

Первичные и повторные вызовы, поступающие в моменты занятости всех u линий пучка, не занимают линий пучка. Поэтому на величину t влияют только вызовы, попадающие, по крайней мере, на первый этап обслуживания. При первом этапе обслуживания одного вызова среднее время занятия линии пучка равно ` t <sub>a</sub>, а при втором этапе обслуживания с вероятностью y–` t _b. Среднее время занятия линии для обслуживания каждой такой попытки составляет ` t _a+y t _b.

Если обозначить через L среднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова, то величина t составит

 

(6.10)

 

Определим величину L. Вызов первый раз поступает на первый этап обслуживания. С вероятностью j данный вызов не попадает на второй этап обслуживания. При этом вероятность того, что источник указанного вызова осуществляет повторный вызов, равна H. Следовательно, с вероятностью j H поступает повторный вызов.

Снова с вероятностью j этот повторный вызов не поступает на второй этап обслуживания и с вероятностью H источник производит новый повторный вызов, т. е. с вероятностью (j H)² источник производит новый повторный вызов и т. д. Таким образом,

 

(6.11)

 

Заметим, что, если мера настойчивости источника H =1 (g=0), то

 

(6.12)

 

Из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности y и не зависит от параметра r потока повторных вызовов.

Используя (6.10) и (6.11) либо (6.12), формулу (6.9) можно привести к виду

 

, если (6.13)

, если (6.14)

 

Принимая за единицу времени именно среднее суммарное время занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова ` t, находим, что интенсивность потока за такую единицу времени . Для простейшего потока интенсивность m равна его параметру l, что позволяет величину cопределять отношением

 

(6.15)

 

6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами

 

Рисунок 6.6 – Диаграмма переходов для системы с повторами

 

Процесс обслуживания коммутационной системой первичных и повторных вызовов является марковским процессом. Используя его частный случай – процесс рождения и гибели, исходим из того, что за время t®0 с конечной вероятностью в системе не может произойти более одного из следующих событий: поступления одного первичного или одного повторного вызова; окончания первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка; прекращения одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания.

Вероятность поступления за время т точно одного первичного вызова составляет lt+ о (t), t®0; аналогично этому вероятность поступления за время t точно одного повторного вызова при наличии k источников повторных вызовов равна k rt+ о (t), t®0. Вероятность окончания за время t первого этапа обслуживания одной из i занятых таким обслуживанием линий есть i at+ о (t), t®0; аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j – i) занятых таким обслуживанием линий равна (j – i)bt+ о (t), t®0. Вероятность прекращения одним из k источников повторных вызовов попыток добиться второго этапа обслуживания составляет k gt+ o (t), t®0.

Пусть коммутационная система в произвольный момент (t+ t ) должна находиться в состоянии (i, j, k), в котором в пучке занято i линий первым и j линий первым и вторым этапами обслуживания и в системе находится k источников повторных вызовов. Диаграмма состояний и переходов процесса обслуживания приведена на рис. 6.6. Обозначим через p_i,j,k(t+ t ) и p_i,j,k(t) вероятности того, что система соответственно в моменты (t+ t ) и t находится в состоянии (i, j, k). Для значений i =0, 1,.... j; j =0, 1,..., u – 1; k = 0, 1, 2,... коммутационная система к моменту (t +t) может перейти в состояние (i, j, k) за время (t, t+ t ), t®0, с конечным значением вероятности из следующих состояний системы в момент t:

1. Система в момент t находится в состоянии (i– 1, j –1, k) и за время t на систему поступает первичный вызов. Вероятность такого события p_i,j,k(t+ t ) ₁ =p_{i- 1 ,j- 1 ,k} (t) lt +o( t ).

2. Система в момент t находится в состоянии (i –1, j –1, k+ 1 ) и за время t от одного из (k+ 1 ) источника повторных вызовов поступает повторный вызов. Вероятность такого события p_{i , j, k} (t+ t ) ₂ =p_{i- 1, j- 1, k+ 1} (t)(k+ 1)rt+ о (t).

3. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k+ 1 ) и за время t один из (k+ 1 ) источника повторных вызовов покидает систему, не добившись второго этапа обслуживания вызова. Вероятность такого события p_{i, j, k} (t +t)₃= p_{i , j, k+1} (t)(k+ 1 ) gt +o( t ).

4. Система в момент t находится в состоянии (i +1, j, k) и за время t один из (i +1) вызовов перейдет с первого ко второму этапу обслуживания. Вероятность такого события p_{i, j, k} (t +t)₄= p_{i +1, j, k} (t) y (i+ 1)at+ о (t).

5. Система в момент t находится в состоянии (i +1, j +1, k– 1 ) и за время t после первого этапа обслуживания освобождается одна из (i +1) линий. Вероятность такого события p_i,j,k(t+ t ) ₅ =p_{i+ 1, j+ 1 ,k- 1} (t) j (i+ 1 ) at +o( t ).

6.Система в момент t находится в состоянии (i, j+ 1, k) и за время t освободится одна из (j +1– i) линий, занятых вторым этапом обслуживания. Вероятность такого события p_i,j,k(t+ t ) ₆ =p_{i,j+ 1 ,k} (t)(j+ 1 –i) bt+ о (t).

7. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k) и за время t не происходит изменения состояния системы, т. е. за время t не поступает ни одного первичного и ни одного повторного вызова, не изменяется состояние ни одной из линий, занятых первым этапом обслуживания, и ни одной из (j – i) линий, занятых вторым этапом обслуживания, а также ни один из k источников повторных вызовов не покидает систему. Вероятность такого события p_{i, j, k}(t+ t ) ₇ =p_{i, j, k}(t) [1–lt– k rt– i at– (j–i) bt– k gt] +о (t).

Имея в виду, что перечисленные события, приводящие коммутационную систему к моменту (t +t) в состояние (i,j,k), взаимно независимы, можно записать

 

(6.16)

 

Систему уравнений вероятностей состояний модели (6.9) необходимо дополнить уравнениями, в которых состояния коммутационной системы в момент (t+ t ) характеризуются занятостью всех uлиний пучка первым и вторым этапами обслуживания вызовов, т. е. состояниями (i, u, k), в которых j =u и соответственно вероятность которых есть p_i,u,k(t+ t ).

Производя над общей системой уравнений p_i,j,k(t+ t ) и p_{i, u ,k}(t+ t ) точно такие же преобразования, которые произведены в гл. 4 над системой уравнений вероятностей состояний полнодоступного пучка, обслуживающего симметричный поток вызовов, получаем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний коммутационной системы p_{i, j , k} и p_{i, u ,k}.

6.4. Основные характеристики качества работы системы с повторными вызовами

 

В качестве основных характеристик работы рассматриваемой системы примем: вероятность потери первичного вызова р и среднее число повторных вызовов, приходящихся на один первичный вызов ` c ₀.

Вероятность потери первичного вызова р определяется отношением интенсивности m_п потерянных первичных вызовов по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления первичного вызова к интенсивности m поступивших первичных вызовов: р =m_п/m=l_п/l. Поскольку поток первичных вызовов является простейшим, то . Отсюда

 

(6.17)

 

При определении ` с <sub>0</sub> следует учитывать, что повторные вызовы источника вызваны как отсутствием свободных линий в пучке в момент поступления первичного и повторных вызовов, так и только первым этапом обслуживания части вызовов. Обозначим через ` c ₁ среднее число повторных вызовов, приходящихся на один первичный или повторный вызов, которые происходят по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления вызова, и через ` c <sub>2</sub>– среднее число повторных вызовов на первом этапе обслуживания. Тогда общее среднее число повторных вызовов ` c ₀, осуществляемых абонентом для обслуживания одного вызова (независимо от того, закончилось ли обслуживание вызова вторым этапом либо источник отказался от дальнейших попыток добиться полного обслуживания), составляет

 

` c <sub>0</sub>=` c ₂+(1+` c <sub>2</sub>)` c ₁=` c <sub>1</sub>+` c ₂+` c <sub>1</sub>` c ₂.

 

Величина ` c ₂ может быть определена из формулы (6.11), по которой рассчитывается среднее число попыток на первом этапе обслуживания L: c ₂ =L –1. Тогда

 

(6.18)

 

Значения р и ` c <sub>1</sub>определяются в зависимости от емкости пучка uпри фиксированных значениях c = l/u, T =1/r и u =g/r. Значения р и ` c ₁справедливы для значений среднего времени z между двумя соседними повторными вызовами, осуществляемыми источником, и вероятности Н того, что источник производит повторный вызов, которые связаны с Т и и следующими зависимостями:

 

(6.19)

 

На характеристики р и ` c <sub>0</sub> работы системы с повторными вызовами, как и других коммутационных систем, существенное влияние оказывают величина интенсивности поступающей нагрузки у и емкость пучка линий u. Помимо того, р и ` c ₀ зависят от ряда других параметров: вероятности j того, что постудивший вызов не будет полностью обслужен; вероятности H, того, что источник производит повторный вызов; среднего времени z между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова.

Рассматриваемые зависимости характеризуются семействами кривых ` c <sub>0</sub>= f (c) и р/р <sub>1</sub> =f( c ) при определенных значениях u, j, Н и z, где c – удельная поступающая нагрузка на одну линию пучка, p <sub>1</sub> – потери в системе, обслуживающей простейший поток вызовов. Из расчетов следует, что значения ` c ₀и p/p ₁увеличиваются с возрастанием c, Н и уменьшением z. При этом ` c <sub>0</sub>увеличивается более интенсивно в области больших значений c. Так, при z= 0,2 и H =0,75 увеличение cс 0,6 до 0,9 Эрл приводит к увеличению ` c ₀ с 0,6 до 1,1, т. е. в 1,8 раза. Еще более ощутимо влияет на c ₀ вероятность H. При c=0,9 Эрл и z =0,2 увеличение H с 0,75 до 1,0 приводит к увеличению ` c ₀ в 4,3 раза.

Влияние среднего времени z на величину ` c <sub>0</sub> ощутимо только в области больших значений c(c>0,6 Эрл) и значений вероятности H, близких к единице. Так, при c=0,8 Эрл и H =0,75 значениям z =1,0; 0,5; 0,2 соответствуют значения ` c ₀ = 0,75; 0,8; 0,9, а при H =1–` c ₀=1,4; 1,55; 2,0.

На величину потерь р помимо величины удельной поступающей нагрузки х существенно влияет вероятность Н, в то время как величина z оказывает малое влияние, которое практически можно не учитывать. Так, если H =1, и z =0,5, то при c=0,5 Эрл отношение р/р ₁»1,2, а при c=0,9 Эрл – р/р ₁ = 3,5.